Derive a segunda lei da reflexão ( thetai=thetar ) usando cálculo diferencial para minimizar o tempo de trânsito, comom requerido pelo princípio de Fermat.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para derivar a segunda lei da reflexão, que diz que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão ( thetai = thetar). Para isso, vamos usar cálculo diferencial e o Princípio de Fermat, que basicamente diz que a luz segue o caminho que leva o menor tempo possível para ir de um ponto a outro. A matéria envolvida é Óptica, especificamente reflexão, e vamos precisar entender como a luz se comporta ao refletir em uma superfície lisa.

Passo 2

Primeiro, imagina que temos uma fonte de luz que emite um raio que alcança uma superfície refletora (como um espelho) e depois segue para um ponto de observação. Vamos chamar o ponto de emissão de A, o ponto na superfície refletora de B e o ponto de observação de C. Queremos encontrar o ponto B na superfície que faz com que o tempo que a luz leva para ir de A a B a C seja mínimo.

Passo 3

Vamos definir algumas variáveis para facilitar. Suponha que a distância horizontal entre A e a superfície seja d, e a distância horizontal entre a superfície e C seja também d. A altura do ponto A até a superfície é h1, e de C até a superfície é h2. O ângulo de incidência é thetai e o ângulo de reflexão é thetar.

Passo 4

De acordo com o Princípio de Fermat, a luz vai escolher o caminho que minimiza o tempo total de viagem. O tempo total T é a soma do tempo que a luz leva para ir de A até B e de B até C. Como a velocidade da luz é constante, o tempo é proporcional à distância total percorrida.

Passo 5

Vamos calcular a distância de A a B e de B a C usando trigonometria. A distância de A a B é AB = h1sinthetai e a distância de B a C é BC = h2sinthetar. Então, a distância total D é:
D = h1sinthetai + h2sinthetar

Passo 6

Para minimizar o tempo, queremos minimizar D. Vamos assumir que a superfície é plana e que os ângulos thetai e thetar estão relacionados pela posição de B. Vamos derivar D em relação a thetai e igualar a zero para encontrar o mínimo.

Passo 7

Derivando D em relação a thetai:
dDdthetai = -h1 costhetaisin^2thetai + h2 costhetarsin^2thetar cdot dthetardthetai = 0
Como a superfície é plana e simétrica, thetar = thetai, então:
-h1 costhetaisin^2thetai + h2 costhetaisin^2thetai = 0
( -h1 + h2 ) costhetaisin^2thetai = 0

Passo 8

Para que essa equação seja verdadeira, ou -h1 + h2 = 0 ou costhetai = 0. A segunda opção implicaria thetai = 90^circ, o que não é o caso geral. Portanto, temos:
-h1 + h2 = 0
h1 = h2
O que mostra que quando os tempos são mínimos, os ângulos são iguais.

Resposta

Dessa forma, chegamos que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, ou seja, thetai = thetar.

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