Derive a segunda lei da reflexão (
) usando cálculo diferencial para minimizar o tempo de trânsito, comom requerido pelo princípio de Fermat.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para derivar a segunda lei da reflexão, que diz que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão (
). Para isso, vamos usar cálculo diferencial e o Princípio de Fermat, que basicamente diz que a luz segue o caminho que leva o menor tempo possível para ir de um ponto a outro. A matéria envolvida é Óptica, especificamente reflexão, e vamos precisar entender como a luz se comporta ao refletir em uma superfície lisa.
Passo 2
Primeiro, imagina que temos uma fonte de luz que emite um raio que alcança uma superfície refletora (como um espelho) e depois segue para um ponto de observação. Vamos chamar o ponto de emissão de A, o ponto na superfície refletora de B e o ponto de observação de C. Queremos encontrar o ponto B na superfície que faz com que o tempo que a luz leva para ir de A a B a C seja mínimo.
Passo 3
Vamos definir algumas variáveis para facilitar. Suponha que a distância horizontal entre A e a superfície seja
, e a distância horizontal entre a superfície e C seja também
. A altura do ponto A até a superfície é
, e de C até a superfície é
. O ângulo de incidência é
e o ângulo de reflexão é
.
Passo 4
De acordo com o Princípio de Fermat, a luz vai escolher o caminho que minimiza o tempo total de viagem. O tempo total
é a soma do tempo que a luz leva para ir de A até B e de B até C. Como a velocidade da luz é constante, o tempo é proporcional à distância total percorrida.
Passo 5
Vamos calcular a distância de A a B e de B a C usando trigonometria. A distância de A a B é
e a distância de B a C é
. Então, a distância total
é:
Passo 6
Para minimizar o tempo, queremos minimizar
. Vamos assumir que a superfície é plana e que os ângulos
e
estão relacionados pela posição de B. Vamos derivar
em relação a
e igualar a zero para encontrar o mínimo.
Passo 7
Derivando
em relação a
:
Como a superfície é plana e simétrica,
Passo 8
Para que essa equação seja verdadeira, ou
ou
. A segunda opção implicaria
, o que não é o caso geral. Portanto, temos:
O que mostra que quando os tempos são mínimos, os ângulos são iguais.
Resposta
Dessa forma, chegamos que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, ou seja,
.