Derive f(x) = e^(x^2) * ln(sec x + tg x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a derivada da função . Para resolver isso, vamos precisar utilizar as regras de derivação de funções compostas e produtos, além de conhecer as derivadas das funções exponenciais e logarítmicas. Vamos lá!

Passo 2

A função é composta por duas partes multiplicadas: e . Para derivar uma função que é o produto de duas funções, usamos a Regra do Produto, que diz:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos primeiro derivar . Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que é usada quando uma função está dentro de outra função. A derivada da função exponencial em relação a é:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Novamente, usamos a Regra da Cadeia. A derivada da função logarítmica em relação a é:
Aqui, . Vamos encontrar :
Então:
Portanto:

Passo 5

Agora que temos as derivadas de e , aplicamos a Regra do Produto:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Podemos simplificar um pouco a expressão. Observamos que aparece tanto no numerador quanto no denominador:
Simplificando a fração:
Então, a expressão final fica:

Resposta

A derivada de é:

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