Para a função
, cujo gráfico é dado, diga quem são.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) As equações das assíntotas
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) As equações das assíntotas
Passo 1
Então, temos um exercício sobre limites e assíntotas da função
, cujo gráfico foi fornecido. Vamos usar conceitos de análise de gráficos para determinar os limites quando
se aproxima de certos pontos e também encontrar as equações das assíntotas. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento da função próximo aos pontos de interesse e no infinito.
Passo 2
(a)
Primeiro, queremos saber qual é o valor que a função
está se aproximando quando
está chegando perto de 2. Olhando o gráfico, vemos para onde a curva está indo quando nos aproximamos de
pelo lado esquerdo e direito.
Teoria Aplicada: O limite
é o valor que
se aproxima conforme
se aproxima de
.
Passo 3
(b)
Aqui, estamos interessados no limite de
quando
se aproxima de -1 pelo lado esquerdo (valores menores que -1). Observamos o que acontece com
à medida que nos aproximamos de -1 pela esquerda no gráfico.
Teoria Aplicada: O limite lateral esquerdo
considera apenas os valores de
que se aproximam de
por baixo.
Passo 4
©
Agora, queremos o limite de
quando
se aproxima de -1 pelo lado direito (valores maiores que -1). Analisamos o comportamento da função à medida que nos aproximamos de -1 pela direita no gráfico.
Teoria Aplicada: O limite lateral direito
considera apenas os valores de
que se aproximam de
por cima.
Passo 5
(d)
Aqui, queremos saber para onde
está se dirigindo quando
cresce sem limites positivos. Observamos o comportamento da função à medida que nos movemos para a direita no gráfico.
Teoria Aplicada: O limite no infinito
descreve o comportamento da função quando
aumenta sem restrição.
Passo 6
(e)
Agora, analisamos o que acontece com
quando
cresce sem limites negativos. Observamos o comportamento da função à medida que nos movemos para a esquerda no gráfico.
Teoria Aplicada: O limite no infinito negativo
descreve o comportamento da função quando
diminui sem restrição.
Passo 7
(f) As equações das assíntotas
Por fim, queremos encontrar as assíntotas da função
. Assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas, e representam linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
Teoria Aplicada:
- Assíntota Horizontal: Determinada pelos limites no infinito.
- Assíntota Vertical: Relacionada a valores de
que fazem o denominador ser zero (pontos de descontinuidade). - Assíntota Oblíqua: Quando o limite no infinito é infinito e a função se comporta linearmente.
Resposta
Seguindo os passos acima e analisando o gráfico de
, encontramos:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) As equações das assíntotas são (horizontal),
(vertical) e, se houver, uma assíntota oblíqua
.
(b)
©
(d)
(e)
(f) As equações das assíntotas são
Nota: Os valores
representam os resultados específicos obtidos ao analisar o gráfico da função
.