Encontre uma fórmula para uma função que tenha por assíntotas verticais x = 1 e x = 3 e por assíntota horizontal y = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função que tenha assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em . Isso envolve conceitos de funções racionais e comportamento assintótico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são assíntotas verticais e horizontais. Assíntotas verticais acontecem onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero. Já a assíntota horizontal mostra o valor que a função se aproxima quando vai para mais ou menos infinito.

Passo 3

Como temos assíntotas verticais em e , isso significa que no denominador da nossa função, teremos fatores que zeram nesses pontos. Então, nosso denominador vai ser .

Passo 4

Agora, para a assíntota horizontal em , a gente precisa que o limite da função quando vai para o infinito seja igual a 1. Isso acontece quando os coeficientes dos termos de maior grau no numerador e no denominador são iguais.

Passo 5

Como o denominador é , que tem grau 2, o numerador também precisa ser um polinômio de grau 2 com coeficiente líder igual a 1. Então, vamos chamar o numerador de .

Passo 6

Agora, nossa função está ficando assim:
Para simplificar, podemos escolher e que façam a função mais simples possível. Vamos escolher e para facilitar.

Passo 7

Então, a função fica:
Vamos verificar se isso atende às condições.

Passo 8

Quando se aproxima de 1 ou 3, o denominador tende a zero, então a função tende ao infinito, confirmando as assíntotas verticais.

Passo 9

Para a assíntota horizontal, calculamos o limite:
Isso confirma que a assíntota horizontal é .

Resposta

Uma das funções que atende às condições é:

Exercícios relacionados