Encontre uma fórmula para uma função que tenha por assíntotas verticais
e
e por assíntota horizontal
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função que tenha assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
. Isso envolve conceitos de funções racionais e comportamento assintótico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são assíntotas verticais e horizontais. Assíntotas verticais acontecem onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero. Já a assíntota horizontal mostra o valor que a função se aproxima quando
vai para mais ou menos infinito.
Passo 3
Como temos assíntotas verticais em
e
, isso significa que no denominador da nossa função, teremos fatores que zeram nesses pontos. Então, nosso denominador vai ser
.
Passo 4
Agora, para a assíntota horizontal em
, a gente precisa que o limite da função quando
vai para o infinito seja igual a 1. Isso acontece quando os coeficientes dos termos de maior grau no numerador e no denominador são iguais.
Passo 5
Como o denominador é
, que tem grau 2, o numerador também precisa ser um polinômio de grau 2 com coeficiente líder igual a 1. Então, vamos chamar o numerador de
.
Passo 6
Agora, nossa função está ficando assim:
Para simplificar, podemos escolher
e
que façam a função mais simples possível. Vamos escolher
e
para facilitar.
Passo 7
Então, a função fica:
Vamos verificar se isso atende às condições.
Passo 8
Quando
se aproxima de 1 ou 3, o denominador tende a zero, então a função tende ao infinito, confirmando as assíntotas verticais.
Passo 9
Para a assíntota horizontal, calculamos o limite:
Isso confirma que a assíntota horizontal é
.
Resposta
Uma das funções que atende às condições é: