Derive
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para derivar duas funções aqui. A primeira é
, e a segunda, que é a parte (a), é
.
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação, como a regra do produto, a regra da cadeia e a derivada de funções exponenciais e logarítmicas. Vou explicar cada passo para que tudo fique clareza.
Passo 2
Vamos começar derivando a primeira função:
.
Aqui, temos uma função onde a base e o expoente são a mesma variável
. Para derivar isso, vamos reescrever a função na forma exponencial utilizando propriedades dos logaritmos, o que facilita a derivação.
Sabemos que
, então podemos escrever
.
Passo 3
Agora, para encontrar a derivada de
em relação a
,
, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta
é
.
Aqui,
. Então, precisamos primeiro encontrar
.
Passo 4
Vamos derivar
. Para isso, usamos a regra do produto, que afirma que a derivada de
é
.
Aqui,
e
.
Então:
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Agora que temos
, voltamos à derivada de
:
Mas lembre-se que
, então podemos reescrever a derivada como:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (a): derivar
.
Aqui, temos o produto de duas funções:
Para derivar essa função, usaremos a regra do produto, que nos diz que a derivada de
é
.
Passo 7
Primeiro, vamos encontrar
e
.
Para
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
.
Aqui,
, então
.
Assim,
Passo 8
Agora, vamos derivar
.
Para isso, usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de
é
.
Aqui,
.
Primeiro, encontramos
:
Então, a derivada de
é:
Passo 9
Agora, aplicamos a regra do produto para encontrar a derivada de
:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
A primeira pessoa a formular explicitamente as ideias de limite e derivada foi Sir Isaac Newton, em 1660. Mas Newton reconhecia que
As seguintes referências contêm explicações desses métodos. Leia uma ou mais referências e escreva um relatório comparando os métodos ou de Fermat ou de Barrow com os métodos modernos. Em particular, use o método da Seção 2.7 para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto
e mostre como Fermat ou Barrow teriam resolvido o mesmo problema. Embora você tenha usado as derivadas e eles não, mostre a analogia entre os métodos.
As seguintes referências contêm explicações desses métodos. Leia uma ou mais referências e escreva um relatório comparando os métodos ou de Fermat ou de Barrow com os métodos modernos. Em particular, use o método da Seção 2.7 para encontrar uma equação da reta tangente à curva
Derive
(b)
(b)
contre o domínio da função