Derive

(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para derivar duas funções aqui. A primeira é , e a segunda, que é a parte (a), é .
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação, como a regra do produto, a regra da cadeia e a derivada de funções exponenciais e logarítmicas. Vou explicar cada passo para que tudo fique clareza.

Passo 2

Vamos começar derivando a primeira função: .
Aqui, temos uma função onde a base e o expoente são a mesma variável . Para derivar isso, vamos reescrever a função na forma exponencial utilizando propriedades dos logaritmos, o que facilita a derivação.
Sabemos que , então podemos escrever .

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada de em relação a , , vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é .
Aqui, . Então, precisamos primeiro encontrar .

Passo 4

Vamos derivar . Para isso, usamos a regra do produto, que afirma que a derivada de é .
Aqui, e .
Então:
Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Agora que temos , voltamos à derivada de :
Mas lembre-se que , então podemos reescrever a derivada como:

Passo 6

Agora, vamos para a parte (a): derivar .
Aqui, temos o produto de duas funções:
Para derivar essa função, usaremos a regra do produto, que nos diz que a derivada de é .

Passo 7

Primeiro, vamos encontrar e .
Para , usamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Aqui, , então .
Assim,

Passo 8

Agora, vamos derivar .
Para isso, usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de é .
Aqui, .
Primeiro, encontramos :
Então, a derivada de é:

Passo 9

Agora, aplicamos a regra do produto para encontrar a derivada de :
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A derivada da função é:

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A primeira pessoa a formular explicitamente as ideias de limite e derivada foi Sir Isaac Newton, em 1660. Mas Newton reconhecia que
As seguintes referências contêm explicações desses métodos. Leia uma ou mais referências e escreva um relatório comparando os métodos ou de Fermat ou de Barrow com os métodos modernos. Em particular, use o método da Seção 2.7 para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto e mostre como Fermat ou Barrow teriam resolvido o mesmo problema. Embora você tenha usado as derivadas e eles não, mostre a analogia entre os métodos.
Derive

(b)
contre o domínio da função