contre o domínio da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o domínio da função
Isso significa descobrir todos os valores de
que fazem a função valer alguma coisa real. Para isso, vamos lembrar que o argumento do logaritmo tem que ser positivo. Então, a gente precisa que:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o domínio da função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar e entender melhor a expressão dentro do logaritmo:
Podemos reescrever o primeiro termo como
para facilitar:
Agora, vamos fatorar o segundo termo
, que é uma diferença de quadrados:
Então, nossa expressão fica:
Passo 3
Agora, a gente tem uma desigualdade do tipo:
Para resolver isso, vamos identificar os pontos críticos, onde cada fator muda de sinal:
-
⇒ -
⇒ -
⇒
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Vamos dividir a reta numérica em intervalos usando esses pontos críticos e testar o sinal da expressão em cada intervalo:
-
Intervalo:
-
-
-
- Produto:
⇒ positivo
-
-
Intervalo:
-
-
-
- Produto:
⇒ negativo
-
-
Intervalo:
-
-
-
- Produto:
⇒ positivo
-
-
Intervalo:
-
-
-
- Produto:
⇒ negativo
-
Passo 5
Agora, queremos os intervalos onde o produto é positivo:
Portanto, o domínio da função
é:
Resposta
O domínio da função é todos os números reais
tais que
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(b)
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Resolva a equasão trigonomét trica
Pra
Pra
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e represente a solução na reta numérica.