contre o domínio da função
h(x) = log2((-x + 3 * raiz(2)) * (x^2 - 4))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o domínio da função
Isso significa descobrir todos os valores de que fazem a função valer alguma coisa real. Para isso, vamos lembrar que o argumento do logaritmo tem que ser positivo. Então, a gente precisa que:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o domínio da função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar e entender melhor a expressão dentro do logaritmo:
Podemos reescrever o primeiro termo como para facilitar:
Agora, vamos fatorar o segundo termo , que é uma diferença de quadrados:
Então, nossa expressão fica:

Passo 3

Agora, a gente tem uma desigualdade do tipo:
Para resolver isso, vamos identificar os pontos críticos, onde cada fator muda de sinal:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Vamos dividir a reta numérica em intervalos usando esses pontos críticos e testar o sinal da expressão em cada intervalo:
  1. Intervalo:
    • Produto: ⇒ positivo
  2. Intervalo:
    • Produto: ⇒ negativo
  3. Intervalo:
    • Produto: ⇒ positivo
  4. Intervalo:
    • Produto: ⇒ negativo

Passo 5

Agora, queremos os intervalos onde o produto é positivo:
Portanto, o domínio da função é:

Resposta

O domínio da função é todos os números reais tais que

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