Derive
f(x) = x^x = e^(x ln x) = y log 2 = e^(x ln x)
(b) f(x) = x^x

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: precisamos derivar a função . Esse exercício faz parte do estudo de derivadas, especificamente sobre como derivar funções onde a variável aparece tanto na base quanto no expoente. Para resolver, vamos usar propriedades de logaritmos e regras de derivação para funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite a derivação. Podemos expressar usando a base e logaritmos naturais:
Isso torna a função mais fácil de manejar para derivação.

Passo 3

Agora que temos , precisamos derivar essa expressão em relação a . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de é , onde é uma função de .

Passo 4

Identificamos . Então, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Como é o produto de e , vamos usar a regra do produto, que diz que:
onde e .

Passo 5

Vamos derivar :
  • A derivada de em relação a é 1.
  • A derivada de em relação a é .
Aplicando a regra do produto:

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar :
Lembrando que , podemos simplificar a expressão:

Resposta

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