A primeira pessoa a formular explicitamente as ideias de limite e derivada foi Sir Isaac Newton, em 1660. Mas Newton reconhecia que
As seguintes referências contêm explicações desses métodos. Leia uma ou mais referências e escreva um relatório comparando os métodos ou de Fermat ou de Barrow com os métodos modernos. Em particular, use o método da Seção 2.7 para encontrar uma equação da reta tangente à curva
no ponto
e mostre como Fermat ou Barrow teriam resolvido o mesmo problema. Embora você tenha usado as derivadas e eles não, mostre a analogia entre os métodos.
As seguintes referências contêm explicações desses métodos. Leia uma ou mais referências e escreva um relatório comparando os métodos ou de Fermat ou de Barrow com os métodos modernos. Em particular, use o método da Seção 2.7 para encontrar uma equação da reta tangente à curva
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. Para isso, vamos usar derivadas, que é o conteúdo central aqui. Além disso, vamos comparar como Fermat ou Barrow resolveriam esse problema, mesmo sem usar derivadas, e ver a analogia entre os métodos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Ou seja, se conseguirmos derivar
, podemos achar essa inclinação.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Para isso, aplicamos as regras básicas de derivação:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituindo
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 5.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da reta tangente, que é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para a forma mais comum:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 7
Agora, vamos pensar em como Fermat ou Barrow resolveriam isso sem usar derivadas. Eles usariam métodos de maximização ou minimização, buscando o ponto onde a curva tem a melhor aproximação linear. Essencialmente, eles analisariam o comportamento da curva próximo ao ponto
para determinar a inclinação da reta tangente.
Passo 8
A analogia entre os métodos é que, enquanto nós usamos a derivada para encontrar a inclinação diretamente, Fermat e Barrow analisariam as mudanças na função para encontrar essa inclinação de forma mais geométrica ou algébrica, sem a formalização do conceito de derivada que temos hoje.
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é
.
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Derive
(a)
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(b)
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