A primeira pessoa a formular explicitamente as ideias de limite e derivada foi Sir Isaac Newton, em 1660. Mas Newton reconhecia que
As seguintes referências contêm explicações desses métodos. Leia uma ou mais referências e escreva um relatório comparando os métodos ou de Fermat ou de Barrow com os métodos modernos. Em particular, use o método da Seção 2.7 para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto e mostre como Fermat ou Barrow teriam resolvido o mesmo problema. Embora você tenha usado as derivadas e eles não, mostre a analogia entre os métodos.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar derivadas, que é o conteúdo central aqui. Além disso, vamos comparar como Fermat ou Barrow resolveriam esse problema, mesmo sem usar derivadas, e ver a analogia entre os métodos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Ou seja, se conseguirmos derivar , podemos achar essa inclinação.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Para isso, aplicamos as regras básicas de derivação:

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 5.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente, que é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para a forma mais comum:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 7

Agora, vamos pensar em como Fermat ou Barrow resolveriam isso sem usar derivadas. Eles usariam métodos de maximização ou minimização, buscando o ponto onde a curva tem a melhor aproximação linear. Essencialmente, eles analisariam o comportamento da curva próximo ao ponto para determinar a inclinação da reta tangente.

Passo 8

A analogia entre os métodos é que, enquanto nós usamos a derivada para encontrar a inclinação diretamente, Fermat e Barrow analisariam as mudanças na função para encontrar essa inclinação de forma mais geométrica ou algébrica, sem a formalização do conceito de derivada que temos hoje.

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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1 3 5 7 9 11
32 32 31 27 26 25
Derive

(a)
Derive

(b)