Derive:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar a função \( f(x) = \frac{x \cdot \arctan(x)}{\arccos(x)} \). Estamos lidando com cálculo, mais especificamente com derivadas de funções que envolvem produtos e quocientes. Vamos precisar usar as regras do quociente e do produto, além das derivadas das funções arctangente e arccoseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a **Regra do Quociente**. A fórmula é:
\[
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
\]
Aqui, \( u = x \cdot \arctan(x) \) e \( v = \arccos(x) \).
Passo 3
Agora, precisamos derivar \( u = x \cdot \arctan(x) \). Para isso, usamos a **Regra do Produto**, que diz:
\[
(uv)' = u'v + uv'
\]
Aqui, \( u_1 = x \) e \( v_1 = \arctan(x) \).
Passo 4
Vamos derivar \( u_1 = x \) e \( v_1 = \arctan(x) \):
\[
u_1' = 1
\]
\[
v_1' = \frac{1}{1 + x^2}
\]
A derivada da arctangente é uma fórmula padrão.
Passo 5
Aplicando a Regra do Produto para derivar \( u = x \cdot \arctan(x) \):
\[
u' = u_1'v_1 + u_1v_1' = 1 \cdot \arctan(x) + x \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \arctan(x) + \frac{x}{1 + x^2}
\]
Passo 6
Agora, vamos derivar \( v = \arccos(x) \). A derivada da arccoseno é:
\[
v' = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}
\]
Passo 7
Com \( u' \) e \( v' \) encontrados, vamos aplicar a Regra do Quociente:
\[
f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\left( \arctan(x) + \frac{x}{1 + x^2} \right) \cdot \arccos(x) - x \cdot \arctan(x) \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} \right)}{(\arccos(x))^2}
\]
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
\[
f'(x) = \frac{ \arctan(x) \cdot \arccos(x) + \frac{x \cdot \arccos(x)}{1 + x^2} + \frac{x \cdot \arctan(x)}{\sqrt{1 - x^2}} }{ (\arccos(x))^2 }
\]
Resposta
A derivada da função é:
\[
f'(x) = \frac{ \arctan(x) \cdot \arccos(x) + \dfrac{x \cdot \arccos(x)}{1 + x^2} + \dfrac{x \cdot \arctan(x)}{\sqrt{1 - x^2}} }{ (\arccos(x))^2 }
\]
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Use as Propriedades dos Limites para mostrar que sua estimativa está correta.