Derive:
f(x) = xarctg(x) / arccos(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar a função \( f(x) = \frac{x \cdot \arctan(x)}{\arccos(x)} \). Estamos lidando com cálculo, mais especificamente com derivadas de funções que envolvem produtos e quocientes. Vamos precisar usar as regras do quociente e do produto, além das derivadas das funções arctangente e arccoseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a **Regra do Quociente**. A fórmula é: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Aqui, \( u = x \cdot \arctan(x) \) e \( v = \arccos(x) \).

Passo 3

Agora, precisamos derivar \( u = x \cdot \arctan(x) \). Para isso, usamos a **Regra do Produto**, que diz: \[ (uv)' = u'v + uv' \] Aqui, \( u_1 = x \) e \( v_1 = \arctan(x) \).

Passo 4

Vamos derivar \( u_1 = x \) e \( v_1 = \arctan(x) \): \[ u_1' = 1 \] \[ v_1' = \frac{1}{1 + x^2} \] A derivada da arctangente é uma fórmula padrão.

Passo 5

Aplicando a Regra do Produto para derivar \( u = x \cdot \arctan(x) \): \[ u' = u_1'v_1 + u_1v_1' = 1 \cdot \arctan(x) + x \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \arctan(x) + \frac{x}{1 + x^2} \]

Passo 6

Agora, vamos derivar \( v = \arccos(x) \). A derivada da arccoseno é: \[ v' = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} \]

Passo 7

Com \( u' \) e \( v' \) encontrados, vamos aplicar a Regra do Quociente: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\left( \arctan(x) + \frac{x}{1 + x^2} \right) \cdot \arccos(x) - x \cdot \arctan(x) \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} \right)}{(\arccos(x))^2} \]

Passo 8

Vamos simplificar a expressão: \[ f'(x) = \frac{ \arctan(x) \cdot \arccos(x) + \frac{x \cdot \arccos(x)}{1 + x^2} + \frac{x \cdot \arctan(x)}{\sqrt{1 - x^2}} }{ (\arccos(x))^2 } \]

Resposta

A derivada da função é: \[ f'(x) = \frac{ \arctan(x) \cdot \arccos(x) + \dfrac{x \cdot \arccos(x)}{1 + x^2} + \dfrac{x \cdot \arctan(x)}{\sqrt{1 - x^2}} }{ (\arccos(x))^2 } \]

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