Encontre
e
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a primeira e a segunda derivada da função
. A gente vai usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente as regras de derivação para funções que são produtos de duas funções. Vamos precisar conhecer a Regra do Produto e a Regra da Cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. A função
é o produto de duas funções:
e
. A Regra do Produto diz que a derivada de
é:
Então, precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Calculando
:
E
:
Passo 4
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Com a primeira derivada
encontrada, vamos para a segunda derivada
. Precisamos derivar
novamente. Vamos considerar
.
Isso é novamente um produto de funções, então aplicamos a Regra do Produto para cada termo.
Passo 6
Derivando
:
Derivando
:
Passo 7
Somando as derivadas dos dois termos:
Podemos fatorar
novamente:
Resposta
A primeira derivada é
e a segunda derivada é
.