Derive:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que derivar a função \( f(x) = x^{x} \cdot \sin(x) \). Isso envolve conceitos de derivação de funções que são produto de duas outras funções. Vamos precisar usar a **Regra do Produto** e saber como derivar \( x^{x} \) e \( \sin(x) \).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a **Regra do Produto**, que diz que se temos duas funções multiplicando, tipo \( u(x) \cdot v(x) \), a derivada é \( u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \). Aqui, \( u(x) = x^{x} \) e \( v(x) = \sin(x) \).
Passo 3
Vamos derivar \( u(x) = x^{x} \). Para isso, usamos a **derivação logarítmica**. A gente começa tirando o logaritmo dos dois lados:
\[
\ln(u) = \ln(x^{x}) = x \cdot \ln(x)
\]
Agora, derivamos ambos os lados em relação a \( x \):
\[
\frac{u'}{u} = \ln(x) + 1
\]
Então, isolando \( u' \):
\[
u' = u \cdot (\ln(x) + 1) = x^{x} \cdot (\ln(x) + 1)
\]
Passo 4
Agora, vamos derivar \( v(x) = \sin(x) \). A derivada de \( \sin(x) \) é simplesmente \( \cos(x) \).
\[
v'(x) = \cos(x)
\]
Passo 5
Aplicando a **Regra do Produto** que mencionamos no Passo 2:
\[
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
\]
Substituindo \( u'(x) \), \( u(x) \), e \( v'(x) \):
\[
f'(x) = x^{x} \cdot (\ln(x) + 1) \cdot \sin(x) + x^{x} \cdot \cos(x)
\]
Podemos fatorar \( x^{x} \) para deixar a expressão mais clean:
\[
f'(x) = x^{x} \left[ (\ln(x) + 1) \cdot \sin(x) + \cos(x) \right]
\]
Resposta
A derivada de \( f(x) = x^{x} \cdot \sin(x) \) é:
\[
f'(x) = x^{x} \left[ (\ln(x) + 1) \cdot \sin(x) + \cos(x) \right]
\]
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