Derive:
f(x)=x^x sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que derivar a função \( f(x) = x^{x} \cdot \sin(x) \). Isso envolve conceitos de derivação de funções que são produto de duas outras funções. Vamos precisar usar a **Regra do Produto** e saber como derivar \( x^{x} \) e \( \sin(x) \).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a **Regra do Produto**, que diz que se temos duas funções multiplicando, tipo \( u(x) \cdot v(x) \), a derivada é \( u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \). Aqui, \( u(x) = x^{x} \) e \( v(x) = \sin(x) \).

Passo 3

Vamos derivar \( u(x) = x^{x} \). Para isso, usamos a **derivação logarítmica**. A gente começa tirando o logaritmo dos dois lados: \[ \ln(u) = \ln(x^{x}) = x \cdot \ln(x) \] Agora, derivamos ambos os lados em relação a \( x \): \[ \frac{u'}{u} = \ln(x) + 1 \] Então, isolando \( u' \): \[ u' = u \cdot (\ln(x) + 1) = x^{x} \cdot (\ln(x) + 1) \]

Passo 4

Agora, vamos derivar \( v(x) = \sin(x) \). A derivada de \( \sin(x) \) é simplesmente \( \cos(x) \). \[ v'(x) = \cos(x) \]

Passo 5

Aplicando a **Regra do Produto** que mencionamos no Passo 2: \[ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \] Substituindo \( u'(x) \), \( u(x) \), e \( v'(x) \): \[ f'(x) = x^{x} \cdot (\ln(x) + 1) \cdot \sin(x) + x^{x} \cdot \cos(x) \] Podemos fatorar \( x^{x} \) para deixar a expressão mais clean: \[ f'(x) = x^{x} \left[ (\ln(x) + 1) \cdot \sin(x) + \cos(x) \right] \]

Resposta

A derivada de \( f(x) = x^{x} \cdot \sin(x) \) é: \[ f'(x) = x^{x} \left[ (\ln(x) + 1) \cdot \sin(x) + \cos(x) \right] \]

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g(x) = a^3 + cos^3(x)
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f(x) = e^x (cos(x) + 2 x)
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f(x) = xarctg(x) / arccos(x)
Encontre y' e y''.
y = x^3 * e^x.