Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto especificado. y = 2x / (x^2 + 1), (1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva dada pela função no ponto específico . Para isso, vamos precisar calcular a derivada dessa função, que nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A função que temos é uma fração, então vamos usar a Regra do Quociente para derivar.
A Regra do Quociente diz que se você tem uma função , sua derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular e :

Passo 4

Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 0, o que significa que é uma reta horizontal.

Passo 6

Com a inclinação da reta tangente conhecida, podemos escrever sua equação. Sabemos que a reta passa pelo ponto e tem inclinação 0. A equação de uma reta com inclinação que passa por é:
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que para retas perpendiculares, o produto das inclinações é -1. Como a inclinação da reta tangente é 0, a inclinação da reta normal será indefinida, ou seja, uma reta vertical.
A equação de uma reta vertical que passa por é simplesmente:

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é e a reta normal é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas abaixo.
(g) integral0^1(3+4 e^x) d x
Use a Regra do Ponto Médio com o valor dado n para aproximar a integral, isto é, utilize n subintervalos para aproximar a integral usando a Regra do Ponto Médio. Arredonde cada resposta para quatro casas decimais.
(b) integral0^pi / 2 cos ^4(x) d x, n=pi4
Encontre f'(x) e f''(x). f(x) = x / (x^2 - 1)
Derive. f(x) = x / (x + c / x)