Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto especificado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva dada pela função no ponto específico . Para isso, vamos precisar calcular a derivada dessa função, que nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A função que temos é uma fração, então vamos usar a Regra do Quociente para derivar.
A Regra do Quociente diz que se você tem uma função , sua derivada é:
No nosso caso, e .
Passo 3
Vamos calcular e :
Passo 4
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 0, o que significa que é uma reta horizontal.
Passo 6
Com a inclinação da reta tangente conhecida, podemos escrever sua equação. Sabemos que a reta passa pelo ponto e tem inclinação 0. A equação de uma reta com inclinação que passa por é:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que para retas perpendiculares, o produto das inclinações é -1. Como a inclinação da reta tangente é 0, a inclinação da reta normal será indefinida, ou seja, uma reta vertical.
A equação de uma reta vertical que passa por é simplesmente:
Resposta
A reta tangente à curva no ponto é e a reta normal é .