Encontre f'(x) e f''(x). f(x) = x / (x^2 - 1)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função e precisa encontrar a sua primeira derivada e a segunda derivada . Para fazer isso, vamos usar o Regra do Quociente, que é uma técnica de derivação para funções que são divisão de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . A Regra do Quociente diz que, se temos uma função , então a derivada é:
No nosso caso, e . Vamos derivar cada uma dessas partes:
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Simplificando mais:

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada , vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos derivar novamente. Nossa função agora é:
Vamos simplificar antes de derivar:
Usaremos novamente a Regra do Quociente, onde:
Primeiro, derivamos e :
Para , usamos a Regra da Cadeia:
Agora aplicamos a Regra do Quociente novamente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Fatorando do numerador:
Então, a segunda derivada fica:

Resposta

A segunda derivada de é:

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(g) integral0^1(3+4 e^x) d x
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