Derive a função utilizando as Regras de Derivação.
f(x) = ((x^2 + 1) / (x^2 - 1))^3

Passo 1

O exercício pede para derivarmos a função utilizando as Regras de Derivação. Vamos abordar esse problema usando conceitos de derivadas, especificamente a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente.

Passo 2

Primeiro, identificamos que é uma função composta. Isso significa que temos uma função externa e uma função interna . Para derivar essa função composta, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções dentro de funções.

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de será a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Matematicamente, isso fica assim:
Aqui, o número 3 vem da derivada de em relação a , onde .

Passo 4

Agora, precisamos derivar a função interna . Para isso, usamos a Regra do Quociente, que é aplicada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções.
A Regra do Quociente diz que se temos , sua derivada é:

Passo 5

Aplicando a Regra do Quociente à nossa função interna:
  • Seja , então .
  • Seja , então .
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Portanto, a derivada da função interna fica:

Passo 7

Voltando à derivada de , substituímos a derivada da função interna:

Passo 8

Agora, vamos simplificar a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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