Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)
f(x)=ln (x raizx^2+1)

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para derivar a função f(x) = ln (x raizx^2+1). Estamos lidando com um tópico de cálculo, especificamente com derivadas. Para resolver isso, vamos aplicar a regra da cadeia e a derivação de funções logarítmicas. Para começar, vamos simplificar um pouco a função utilizando as propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que ln(ab) = ln a + ln b. Assim, podemos reescrever nossa função como:
f(x) = ln(x) + ln(raizx^2+1)
Lembre-se de que raizy = y^1/2, então ln(raizx^2+1) pode ser escrita como 12 ln(x^2+1). Agora, nossa função fica assim:
f(x) = ln(x) + 12 ln(x^2+1)

Passo 3

Agora, vamos derivar cada parte da função separadamente. A derivada de ln(x) é 1x. Para a outra parte, vamos utilizar a regra da cadeia para a derivada de 12 ln(x^2+1):
ddx(12 ln(x^2+1)) = 12 cdot 1x^2+1 cdot ddx(x^2+1)
A derivada de x^2+1 é 2x. Portanto, temos:
12 cdot 1x^2+1 cdot 2x = xx^2+1

Passo 4

Colocando tudo isso junto, a derivada da função f(x) fica:
f'(x) = 1x + xx^2+1
Essa é a nossa derivada completa.

Resposta

Então, a derivada da função f(x) = ln (x raizx^2+1) é:
f'(x) = 1x + xx^2+1

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