Um frasco de vidro foi graduado em cm^3 a 20^circ C. Coloca-se dentro do frasco um líquido a 200 C até atingir a marca de 400 cm^3. Quando o conjunto é aquecido até 120^circ C, observa-se que o líquido atinge a marca de 408 cm^3. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do vidro é 9 times 10^-6 ^circ C^-1, calcule o coeficiente de dilatação cúbica real do líquido e o volume real do líquido a 120^circ C.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado nos diz: Temos um frasco de vidro graduado em centímetros cúbicos ( cm^3) a uma temperatura inicial de 20^circ C. Colocamos um líquido nesse frasco até a marca de 400 cm^3. Quando aquecemos o conjunto até 120^circ C, o nível do líquido sobe para 408 cm^3. Sabemos também o coeficiente de dilatação linear do vidro, que é 9 times 10^-6 ^circ C^-1. Nosso objetivo é calcular o coeficiente de dilatação cúbica real do líquido e o volume real do líquido a 120^circ C. Vamos precisar entender como a dilatação linear e cúbica funcionam e aplicar essas fórmulas para encontrar as respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando o vidro esquenta, ele também se expande. O coeficiente de dilatação linear ( alpha) nos diz o quanto cada dimensão linear do vidro aumenta por grau Celsius. Como estamos lidando com um volume, precisamos converter isso para o coeficiente de dilatação cúbica ( beta), que é aproximadamente três vezes o coeficiente linear. Então:
betavidro = 3 times alphavidro = 3 times 9 times 10^-6 ^circ C^-1 = 27 times 10^-6 ^circ C^-1

Passo 3

Agora, vamos calcular a dilatação do vidro ao aquecer de 20^circ C para 120^circ C. A variação de temperatura ( De) é:
De
Usando a fórmula da dilatação volumétrica:
De
Como o volume inicial do frasco era 400 cm^3:
De

Passo 4

O aumento total do volume observado foi de 8 cm^3 (de 400 cm^3 para 408 cm^3). Parte desse aumento é devido ao vidro se expandir, que calculamos ser 1,08 cm^3. Portanto, o aumento real do volume do líquido é:
Deí

Passo 5

Agora, vamos calcular o coeficiente de dilatação cúbica real do líquido ( betalíquidoí). Sabemos que:
Deíí
Rearranjando para encontrar betalíquidoí:
betalíquido = Deíí

Passo 6

Por fim, vamos calcular o volume real do líquido a 120^circ C. Usando a fórmula da dilatação volumétrica:
Vfinal = Vinicial times (1 + betalíquido times Deí
Vfinal = 400 times (1 + 0,0173) = 400 times 1,0173 = 406,92 cm^3

Resposta

O coeficiente de dilatação cúbica real do líquido é 1,73 times 10^-4 ^circ C^-1 e o volume real do líquido a 120^circ C é aproximadamente 406,92 cm^3.

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