Um dos objetivos dessa pergunta é o desenvolvimento da redação em matemática. Procure escrever a resposta como se estivesse dando uma explicação em um livro de matemática, antes de ler o gabarito. O gabarito apresenta uma possibilidade para a redação dessa resposta, mas não a única. Tente fazer da sua maneira:
e
são duas funções inversíveis. Discuta a inversibilidade de
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão nos diz que temos duas funções,
e
, que são inversíveis, ou seja, elas têm inversas. O objetivo aqui é descobrir se a composição dessas duas funções,
, também é inversível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser inversível e como funciona a composição de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função inversível. Uma função
é inversível se existe outra função
tal que:
Isso quer dizer que aplicar
e depois
(ou vice-versa) nos leva de volta ao ponto de partida.
Passo 3
Agora, vamos pensar na composição
. Isso significa que primeiro aplicamos
e depois
. Para verificar se
é inversível, precisamos encontrar uma função que “desfaça” essa composição.
Passo 4
Sabemos que
e
são inversíveis, então existem
e
que são suas inversas. A pergunta é: como podemos usar
e
para encontrar a inversa de
?
Passo 5
Vamos tentar compor as inversas na ordem inversa. Ou seja, primeiro aplicar
e depois
. Vamos verificar se isso funciona:
E igualmente:
Isso mostra que
é realmente a inversa de
.
Resposta
Sim, a composição
é inversível, e sua inversa é
.
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Calcule
Derive as funções dos itens abaixo (se for conveniente, use derivação logarítmica)
(!!) Considere a função:
g) Calcule
, sendo
.