Um dos objetivos dessa pergunta é o desenvolvimento da redação em matemática. Procure escrever a resposta como se estivesse dando uma explicação em um livro de matemática, antes de ler o gabarito. O gabarito apresenta uma possibilidade para a redação dessa resposta, mas não a única. Tente fazer da sua maneira:
f: R -> R e g: R -> R são duas funções inversíveis. Discuta a inversibilidade de f(g).

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão nos diz que temos duas funções, e , que são inversíveis, ou seja, elas têm inversas. O objetivo aqui é descobrir se a composição dessas duas funções, , também é inversível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser inversível e como funciona a composição de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função inversível. Uma função é inversível se existe outra função tal que:
Isso quer dizer que aplicar e depois (ou vice-versa) nos leva de volta ao ponto de partida.

Passo 3

Agora, vamos pensar na composição . Isso significa que primeiro aplicamos e depois . Para verificar se é inversível, precisamos encontrar uma função que “desfaça” essa composição.

Passo 4

Sabemos que e são inversíveis, então existem e que são suas inversas. A pergunta é: como podemos usar e para encontrar a inversa de ?

Passo 5

Vamos tentar compor as inversas na ordem inversa. Ou seja, primeiro aplicar e depois . Vamos verificar se isso funciona:
E igualmente:
Isso mostra que é realmente a inversa de .

Resposta

Sim, a composição é inversível, e sua inversa é .

Exercícios relacionados

f(x) é uma função de classe C^1 em R. Sabe-se que f(0)=1, f(1)=-3, f'(0)=-2 e f'(1) = raiz(2). Defina y = g(x) = f(x) + x. Discuta a existência de uma inversa local de g em vizinhança de x = 0. Calcule (g^-1)'(1).
Calcule
  1. arcsen(sen(39/5 pi))
  2. arccos(cos(43/6 * pi))
Derive as funções dos itens abaixo (se for conveniente, use derivação logarítmica)
  1. f(x) = e^(raiz(x)) * ln(raiz(x)), x > 0
  2. f(x) = ln(x * raiz(x^2 + 1)), x > 0
  3. f(x) = (e^x)^x, x em R
  4. f(x) = (x^x)^x, x > 0
  5. f(x) = (sen(x))^(arcsen(x)), x in (0,1)
  6. f(x) = ln(raiz(x + 1) / (x - 1)^3), x > 1
(!!) Considere a função:
f(x, y) = (x^3 - y^3 + x*y*(x + y)) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0)
g) Calcule D_v f(0,0), sendo v = (raiz(2)/2, raiz(2)/2).