Exercício - P2 - Mecânica Clássica I
Um sistema físico com
partículas puntiformes de massa
, com
, está sujeito somente a forças internas conservativas. A energia mecânica total desse sistema é constante e dada por
Se os vetores posição de cada partícula
em relação a um referencial inercial S se relacionam com os vetores posição
em relação ao referencial
de centro de massa desse sistema através de:
, onde
é a coordenada do CM do sistema físico em relação a
, demonstre que a energia mecânica no referencial S do centro de massa também é constante (conservada). (Dica: voce pode usar os resultados demonstrados em sala de aula).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema de
partículas com massas
que só trocam forças internas conservativas. A energia mecânica total desse sistema é constante e é dada por uma soma de energias cinéticas e potenciais. A gente precisa mostrar que, quando mudamos para o referencial do centro de massa (
), a energia mecânica também permanece constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, como energia mecânica, sistema de partículas e mudança de referenciais. Vamos precisar entender como as posições e velocidades das partículas mudam quando passamos de um referencial para outro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre as posições no referencial inercial
e no referencial do centro de massa
. A posição de cada partícula no referencial
é dada por
, onde
é a posição do centro de massa. Isso significa que tudo no referencial
está “deslocado” pela posição do centro de massa em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas velocidades. Se a posição
, então a velocidade
�� a derivada dessa posição em relação ao tempo:
Aqui,
é a velocidade do centro de massa.
Passo 4
Vamos substituir as velocidades na expressão da energia cinética total. A energia cinética no referencial
é:
Expandindo o quadrado, temos:
Passo 5
Vamos separar os termos:
-
: Energia cinética no referencial . -
: Esse termo envolve a velocidade relativa e a velocidade do centro de massa. -
: Energia cinética do movimento do centro de massa.
Passo 6
Observando o segundo termo, note que:
Isso porque, no referencial do centro de massa, a soma das quantidades de movimento relativas é zero. Então, o segundo termo desaparece.
Passo 7
O terceiro termo fica:
onde
é a massa total do sistema. Então, a energia cinética total no referencial
é:
Passo 8
Agora, vamos olhar para a energia potencial. Como as forças são internas e conservativas, a energia potencial depende apenas das diferenças de posição entre as partículas. Como
, as diferenças
. Assim, a energia potencial no referencial
é igual à energia potencial no referencial
:
Passo 9
Então, a energia mecânica total no referencial
fica:
No referencial do centro de massa
, a energia mecânica é:
Passo 10
Como a energia mecânica total
no referencial
é constante, e
também é constante (pois o movimento do centro de massa é retilíneo e uniforme devido à ausência de forças externas), então
deve ser constante. Logo, a energia mecânica no referencial do centro de massa
também é conservada.
Resposta
A energia mecânica no referencial do centro de massa
permanece constante, ou seja, é conservada.