Exercício - P2 - Mecânica Clássica I

Um sistema físico com N partículas puntiformes de massa mj, com j=1,2, cdots, N, está sujeito somente a forças internas conservativas. A energia mecânica total desse sistema é constante e dada por
E=12 sumj=1^N mj vj^2+sumi
Se os vetores posição de cada partícula (rj) em relação a um referencial inercial S se relacionam com os vetores posição (rj^prime) em relação ao referencial S^prime de centro de massa desse sistema através de: rj=rj^prime+R, onde R é a coordenada do CM do sistema físico em relação a S, demonstre que a energia mecânica no referencial S do centro de massa também é constante (conservada). (Dica: voce pode usar os resultados demonstrados em sala de aula).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema de N partículas com massas mj que só trocam forças internas conservativas. A energia mecânica total desse sistema é constante e é dada por uma soma de energias cinéticas e potenciais. A gente precisa mostrar que, quando mudamos para o referencial do centro de massa ( S'), a energia mecânica também permanece constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, como energia mecânica, sistema de partículas e mudança de referenciais. Vamos precisar entender como as posições e velocidades das partículas mudam quando passamos de um referencial para outro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre as posições no referencial inercial S e no referencial do centro de massa S'. A posição de cada partícula no referencial S é dada por rj = rj' + R, onde R é a posição do centro de massa. Isso significa que tudo no referencial S' está “deslocado” pela posição do centro de massa em relação a S.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas velocidades. Se a posição rj = rj' + R, então a velocidade vj �� a derivada dessa posição em relação ao tempo:
vj = drjdt = drj'dt + dRdt = vj' + V
Aqui, V = dRdt é a velocidade do centro de massa.

Passo 4

Vamos substituir as velocidades na expressão da energia cinética total. A energia cinética no referencial S é:
12 sumj=1^N mj vj^2 = 12 sumj=1^N mj (vj' + V)^2
Expandindo o quadrado, temos:
12 sumj=1^N mj (vj'^2 + 2vj' cdot V + V^2)

Passo 5

Vamos separar os termos:
  1. 12 sumj=1^N mj vj'^2: Energia cinética no referencial S'.
  2. 12 sumj=1^N 2mj vj' cdot V: Esse termo envolve a velocidade relativa e a velocidade do centro de massa.
  3. 12 sumj=1^N mj V^2: Energia cinética do movimento do centro de massa.

Passo 6

Observando o segundo termo, note que:
sumj=1^N mj vj' = 0
Isso porque, no referencial do centro de massa, a soma das quantidades de movimento relativas é zero. Então, o segundo termo desaparece.

Passo 7

O terceiro termo fica:
12 ( sumj=1^N mj ) V^2 = 12 M V^2
onde M é a massa total do sistema. Então, a energia cinética total no referencial S é:
12 sumj=1^N mj vj'^2 + 12 M V^2

Passo 8

Agora, vamos olhar para a energia potencial. Como as forças são internas e conservativas, a energia potencial depende apenas das diferenças de posição entre as partículas. Como rj = rj' + R, as diferenças ri - rj = ri' - rj'. Assim, a energia potencial no referencial S é igual à energia potencial no referencial S':
sumi

Passo 9

Então, a energia mecânica total no referencial S fica:
E = 12 sumj=1^N mj vj'^2 + 12 M V^2 + sumi
No referencial do centro de massa S', a energia mecânica é:

Passo 10

Como a energia mecânica total E no referencial S é constante, e M V^2 / 2 também é constante (pois o movimento do centro de massa é retilíneo e uniforme devido à ausência de forças externas), então E' deve ser constante. Logo, a energia mecânica no referencial do centro de massa S' também é conservada.

Resposta

A energia mecânica no referencial do centro de massa S' permanece constante, ou seja, é conservada.

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