Derive as seguintes funções:
h(x) = (2 x^3 + 3 sen(3 x))(x^3 + 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para derivar a função . Isso envolve o cálculo de derivadas, especificamente aplicando a regra do produto, que é usada quando temos duas funções multiplicadas. Vamos precisar lembrar como derivar potências de e funções trigonométricas, além de aplicar a regra do produto corretamente.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as duas funções que estão sendo multiplicadas:
Para derivar , usamos a regra do produto:
Isso significa que precisamos derivar e separadamente.

Passo 3

Vamos derivar :
  • A derivada de é (usando a regra da potência: ).
  • A derivada de é . Isso porque aplicamos a regra da cadeia: , onde .
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos derivar :
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante, como 2, é 0.
Assim:

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, distribuímos por :
Então, essa parte fica:
Agora, distribuímos por :
Então, essa parte fica:

Passo 7

Agora, somamos todas as partes:
Vamos combinar os termos semelhantes:
  • permanece
  • permanece
  • permanece
  • permanece
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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