Encontre os valores extremos de z = x y sujeito à condição x + y = 1.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos encontrar os valores extremos dessa função, ou seja, os valores máximos e mínimos que pode assumir, considerando a condição . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de otimização e substituição de variáveis.

Passo 2

Primeiro, como temos a restrição , podemos expressar uma das variáveis em termos da outra. Vamos resolver para :

Passo 3

Agora, substituímos a expressão de na função :
Isso nos dá uma função de apenas em termos de .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão de :

Passo 5

Para encontrar os valores extremos dessa função, precisamos identificar os pontos onde a derivada de em relação a é zero. A derivada nos indica a taxa de variação de em relação a .

Passo 6

Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, encontramos o valor de usando a restrição :

Passo 8

Com e , calculamos :

Resposta

O valor extremo de sujeito à condição é .

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