Encontre os valores extremos de
sujeito à condição
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar os valores extremos dessa função, ou seja, os valores máximos e mínimos que
pode assumir, considerando a condição
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de otimização e substituição de variáveis.
Passo 2
Primeiro, como temos a restrição
, podemos expressar uma das variáveis em termos da outra. Vamos resolver para
:
Passo 3
Agora, substituímos a expressão de
na função
:
Isso nos dá uma função de
apenas em termos de
.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão de
:
Passo 5
Para encontrar os valores extremos dessa função, precisamos identificar os pontos onde a derivada de
em relação a
é zero. A derivada nos indica a taxa de variação de
em relação a
.
Passo 6
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, encontramos o valor de
usando a restrição
:
Passo 8
Com
e
, calculamos
:
Resposta
O valor extremo de
sujeito à condição
é
.
Exercícios relacionados
Derive as seguintes funções:
(1,0 ponto)
Encontre as distâncias máxima e mínima da origem à curva
.
Usando a regra da cadeia, diferencie: