(1,0 ponto ) integral-infty^0 x(x^2+1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a integral . O conteúdo aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais definidas que envolvem funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, também conhecida como mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para simplificar a integral. Observando o denominador , uma boa escolha é deixar .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de du = 2x , dx em relação a x , dx = du2 para fazer a substituição:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir integral x(x^2+1)^3 , dx = integral 1u^3 cdot du2 = 12 integral u^-3 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar 12 integral u^-3 , du = 12 ( u^-2-2 ) + C = -14 u^-2 + C em relação a -14 1(x^2 + 1)^2 + C :
Substituindo , temos:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de [ -14 1(x^2 + 1)^2 ]-infty^0 a -14 1(0 + 1)^2 = -14 :
-14 1infty = 0
Calculando em :
E quando tende a , tende a , então:

Resposta

Assim, o valor da integral é:
-14 - 0 = -14

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