(1,0 ponto) integral0^pi / 2 cos (5 t) cos (10 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral de cos(5t) cos(10t) de 0 até pi2. O assunto aqui é integração de produtos de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de cossenos em uma soma, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que transforma o produto de dois cossenos:
cos(A) cos(B) = cos(A + B) + cos(A - B)2
Aqui, vamos aplicar essa identidade com A = 5t e B = 10t:
cos(5t) cos(10t) = cos(15t) + cos(-5t)2
Sabemos que cos(-5t) = cos(5t) (porque o cosseno é uma função par), então:
cos(5t) cos(10t) = cos(15t) + cos(5t)2
Agora, nossa integral fica:
integral0^pi2 cos(5t) cos(10t) , dt = 12 integral0^pi2 cos(15t) + cos(5t) , dt

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de cos(k t) é:
integral cos(k t) , dt = sin(k t)k + C
Aplicando isso aos nossos termos:
12 [ integral0^pi2 cos(15t) , dt + integral0^pi2 cos(5t) , dt ] = 12 [ sin(15t)15 |0^pi2 + sin(5t)5 |0^pi2 ]

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores das integrais nos limites:
Para sin(15t)15 de 0 a pi2:
sin(15 cdot pi2)15 - sin(0)15 = sin(15pi2)15 - 0
Sabemos que sin(15pi2) = sin(7pi + pi2) = sin(pi2) = 1.
Para sin(5t)5 de 0 a pi2:
sin(5 cdot pi2)5 - sin(0)5 = sin(5pi2)5 - 0
Sabemos que sin(5pi2) = sin(2pi + pi2) = sin(pi2) = 1.

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão:
12 [ 115 + 15 ] = 12 [ 1 + 315 ] = 12 cdot 415 = 215

Resposta

O valor da integral é 215.

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