Derive as seguintes funções: y = arcsen(1 / x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para derivar a função . Isso significa que precisamos encontrar a taxa de variação de em relação a . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função composta. Aqui, temos onde . A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a é o produto da derivada de em relação a pela derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . Sabemos que
Substituindo , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a . Como ,
Isso vem da regra da derivada de funções potenciais, onde a derivada de é .

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, simplificamos o denominador:
Substituindo de volta na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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