Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
é derivável no ponto
usando a definição de derivada. Se for derivável, também vamos encontrar o valor de
. Para isso, vamos usar a definição básica de derivada e fazer alguns cálculos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
no ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite dessa expressão conforme
se aproxima de zero.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função
e o ponto
na fórmula da derivada.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Primeiro, expandimos
:
Então,
E,
Passo 5
Substituindo na fórmula da derivada:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por
:
Passo 6
Agora, basta calcular o limite conforme
se aproxima de zero:
Resposta
A função
é derivável em
e sua derivada nesse ponto é
.
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Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
:
Derive as seguintes funções:
Determine as constantes a e b de modo que
seja derivável em
, sendo
Determine as derivadas das funções a seguir: