Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x_0 e em caso afirmativo, determine f'(x0) :
f(x) = 2 x^3 + 2 (x0 = 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função é derivável no ponto usando a definição de derivada. Se for derivável, também vamos encontrar o valor de . Para isso, vamos usar a definição básica de derivada e fazer alguns cálculos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite dessa expressão conforme se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função e o ponto na fórmula da derivada.

Passo 4

Vamos calcular e :
Primeiro, expandimos :
Então,
E,

Passo 5

Substituindo na fórmula da derivada:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por :

Passo 6

Agora, basta calcular o limite conforme se aproxima de zero:

Resposta

A função é derivável em e sua derivada nesse ponto é .

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