Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em e em caso afirmativo, determine :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a função que está definida de forma diferente para e para é derivável no ponto . Isso envolve entender o que é derivada e como aplicá-la em funções por partes. Vamos precisar usar a definição de derivada e verificar se os limites laterais são iguais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Basicamente, uma função é derivável em se o limite
existe e é o mesmo tanto pelo lado esquerdo quanto pelo lado direito de . Ou seja, precisamos calcular esse limite quando se aproxima de 0 positivamente e negativamente e ver se os resultados são iguais.

Passo 3

Vamos analisar a função dada:
Nosso ponto de interesse é . Vamos calcular a derivada pelo lado esquerdo ( tende a 0 negativamente) e pelo lado direito ( tende a 0 positivamente).

Passo 4

Primeiro, calculamos a derivada pelo lado esquerdo:
Como está se aproximando de 0 negativamente, , então usamos a primeira parte da função:
Sabemos que . Substituindo na expressão:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada pelo lado direito:
Como está se aproximando de 0 positivamente, , então usamos a segunda parte da função:
Já sabemos que . Substituindo na expressão:

Passo 6

Agora comparamos os dois resultados:
Como os limites não são iguais, a derivada pela esquerda e pela direita são diferentes.

Resposta

A função não é derivável em porque as derivadas laterais são diferentes ( e ).

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Derive as seguintes funções:
Resolva as seguintes devivadas usando a regra da cadeia:
a)
b)
c)
d)
e)
f) H(x)
g)
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em e em caso afirmativo, determine :
Determine as constantes a e b de modo que seja derivável em , sendo