Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a função que está definida de forma diferente para
e para
é derivável no ponto
. Isso envolve entender o que é derivada e como aplicá-la em funções por partes. Vamos precisar usar a definição de derivada e verificar se os limites laterais são iguais nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Basicamente, uma função
é derivável em
se o limite
existe e é o mesmo tanto pelo lado esquerdo quanto pelo lado direito de
. Ou seja, precisamos calcular esse limite quando
se aproxima de 0 positivamente e negativamente e ver se os resultados são iguais.
Passo 3
Vamos analisar a função dada:
Nosso ponto de interesse é
. Vamos calcular a derivada pelo lado esquerdo (
tende a 0 negativamente) e pelo lado direito (
tende a 0 positivamente).
Passo 4
Primeiro, calculamos a derivada pelo lado esquerdo:
Como
está se aproximando de 0 negativamente,
, então usamos a primeira parte da função:
Sabemos que
. Substituindo na expressão:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada pelo lado direito:
Como
está se aproximando de 0 positivamente,
, então usamos a segunda parte da função:
Já sabemos que
. Substituindo na expressão:
Passo 6
Agora comparamos os dois resultados:
Como os limites não são iguais, a derivada pela esquerda e pela direita são diferentes.
Resposta
A função não é derivável em
porque as derivadas laterais são diferentes (
e
).
Exercícios relacionados
Derive as seguintes funções:
Resolva as seguintes devivadas usando a regra da cadeia:
a)
b)
c)
d)
e)
f) H(x)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f) H(x)
g)
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
:
Determine as constantes a e b de modo que
seja derivável em
, sendo