Derive:
w) x^2 * (3 - 3 * e^x + x * e^x) / (1 - e^x)^2

Passo 1

Beleza, bora lá! Temos que derivar a função . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra do quociente e a regra do produto para derivar funções que são frações e produtos de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisamos derivar. Vamos chamar o numerador de e o denominador de . Para derivar , vamos usar a regra do quociente, que diz:

Passo 3

Vamos primeiro derivar . Dentro de , temos um produto de e , então usamos a regra do produto, que é .
Derivando :
Derivando :
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Usamos a regra da cadeia para isso, onde e .
Derivando :
Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora que temos e , vamos substituir na fórmula da regra do quociente:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, note que podemos fatorar no numerador:
Simplificando:

Passo 7

Podemos deixar a resposta assim ou continuar simplificando dependendo do contexto, mas geralmente essa forma já está adequada para muitos propósitos.

Resposta

A derivada de é:

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