Derive. y = (t^2 + 2) / (t^4 - 3*t^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que derivar a função . Isso faz parte do estudo de derivadas de funções racionais, e para resolver, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é uma técnica para derivar divisões de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da fração: o numerador e o denominador. Vamos chamar:
  • Numerador ( ):
  • Denominador ( ):

Passo 3

Agora, precisamos derivar e separadamente.
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 4

Vamos aplicar a Regra do Quociente, que diz:
Substituindo , , e na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
  1. Expandir :
Então,
  1. Expandir :
Então,

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Agora, simplificamos o numerador:

Passo 7

Finalmente, escrevemos a derivada simplificada:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Seja f(x)=cx^2+1 , se x<1 (x-2)^2 , se x >= 1.
lim x 1 f(x) existe?
Calcule o limite, se existir.
lim x 2 x^2-x+6x-2 h
Use uma aproximação linear para estimar f(0,9) e f(0, 1).
Entre 0,9 e 1,1 a função f é crescente ou decrescente ? Justifique.