Calcule o limite, se existir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que o exercício pediu:
. Estamos lidando com limites aqui, que é um conceito fundamental em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam perto de certos pontos e usar algumas regras básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece. Substituindo:
Isso nos dá uma divisão por zero, o que é indefinido. Então, não podemos resolver esse limite dessa forma direta.
Passo 3
Quando substituímos diretamente e obtemos
, isso nos indica que o limite pode estar indo para infinito ou menos infinito. Para entender melhor, vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 2 por valores maiores que 2 (à direita) e por valores menores que 2 (à esquerda).
Passo 4
Analisando pelo lado direito (
):
Se
está ligeiramente maior que 2, então
é um número positivo muito pequeno. O numerador
para
próximo de 2 é aproximadamente 8 (como vimos antes). Então, temos algo positivo dividido por um número positivo muito pequeno, o que resulta em um valor muito grande positivo.
Passo 5
Analisando pelo lado esquerdo (
):
Se
está ligeiramente menor que 2, então
é um número negativo muito pequeno. O numerador ainda está aproximadamente 8. Então, temos algo positivo dividido por um número negativo muito pequeno, o que resulta em um valor muito grande negativo.
Passo 6
Como vimos, o limite pela direita é
e pela esquerda é
. Quando os limites laterais são diferentes e tendem para valores opostos, concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe porque os limites laterais são diferentes e tendem para
e
.
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Determine o limite infinito.
Seja
.
existe?
Derive.