Determine se verdadeiro ou falso. Se for falso, dê um contraexemplo ou corrija. Se
é continua em
, então
é derivável em
.
Passo 1
Então, a gente tem uma afirmação que diz: "Se
é contínua em
, então
é derivável em
". A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente os conceitos de continuidade e derivabilidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e derivável em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em
se o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função em
, ou seja:
Agora, derivabilidade. Uma função
é derivável em
se o limite que define a derivada existe, que é:
Importante notar que derivabilidade implica continuidade, mas será que o contrário também é verdadeiro? É isso que a afirmação está perguntando.
Passo 3
Para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa, precisamos ver se toda função contínua em
também é derivável nesse ponto. Se encontrarmos pelo menos um caso onde a função é contínua mas não é derivável, a afirmação é falsa.
Vamos considerar a função valor absoluto, que é um clássico exemplo para essas situações. Definimos:
Essa função é contínua em
porque não há “saltos” ou “buracos” no gráfico. Agora, vamos ver se ela é derivável em
.
Passo 4
Para calcular a derivada de
em
, usamos a definição da derivada:
Agora, observamos que:
- Se
se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ), então . - Se
se aproxima de 0 pelo lado negativo ( ), então .
Como os limites pelas duas direções são diferentes (
e
), o limite total não existe. Portanto, a derivada em
não existe.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, a função
é contínua em
, mas não é derivável nesse ponto.