Determine se verdadeiro ou falso. Se for falso, dê um contraexemplo ou corrija. Se f é continua em x = 3, então f é derivável em x = 3.

Passo 1

Então, a gente tem uma afirmação que diz: "Se é contínua em , então é derivável em ". A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente os conceitos de continuidade e derivabilidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e derivável em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja:
Agora, derivabilidade. Uma função é derivável em se o limite que define a derivada existe, que é:
Importante notar que derivabilidade implica continuidade, mas será que o contrário também é verdadeiro? É isso que a afirmação está perguntando.

Passo 3

Para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa, precisamos ver se toda função contínua em também é derivável nesse ponto. Se encontrarmos pelo menos um caso onde a função é contínua mas não é derivável, a afirmação é falsa.
Vamos considerar a função valor absoluto, que é um clássico exemplo para essas situações. Definimos:
Essa função é contínua em porque não há “saltos” ou “buracos” no gráfico. Agora, vamos ver se ela é derivável em .

Passo 4

Para calcular a derivada de em , usamos a definição da derivada:
Agora, observamos que:
  • Se se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ), então .
  • Se se aproxima de 0 pelo lado negativo ( ), então .
Como os limites pelas duas direções são diferentes ( e ), o limite total não existe. Portanto, a derivada em não existe.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, a função é contínua em , mas não é derivável nesse ponto.

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