Derive. y = x * tan^-1(raiz(x))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos derivá-la em relação a . Para isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

A regra do produto é usada quando temos duas funções multiplicando uma à outra. Se temos , então a derivada .
No nosso caso:

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada de . Sabemos que a derivada de em relação a é 1, ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos derivar . Aqui, usamos a regra da cadeia porque estamos lidando com uma função composta.
A derivada de em relação a é . No nosso caso, , então precisamos multiplicar pela derivada de em relação a .
A derivada de é .
Portanto:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto:
Simplificando a segunda parte:

Resposta

Portanto, a derivada é:

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