Encontre d y / d x por derivação implícita. x^2 y^2 + x sen y = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar usando derivação implícita. O enunciado é . Para isso, vamos precisar saber como diferenciar expressões que envolvem tanto x quanto y, considerando que y é uma função de x.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação onde y está misturado com x, nem sempre dá para isolar o y facilmente. Então, derivamos ambos os lados da equação em relação a x, aplicando a regra da cadeia quando necessário.

Passo 3

Vamos começar diferenciando o primeiro termo . Usamos a regra do produto: a derivada de é . Aqui, e . Então:

Passo 4

Agora, diferenciamos o segundo termo . Novamente, aplicamos a regra do produto, onde e :

Passo 5

A derivada do lado direito da equação 1 em relação a x é zero, já que a derivada de uma constante é zero:

Passo 6

Agora, juntando todas as derivadas que calculamos, temos:

Passo 7

Nosso objetivo é isolar . Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 8

Fatorando do lado esquerdo:

Passo 9

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando :

Resposta

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