[Desafio] Considere três esferas mutuamente tangentes centradas nos pontos
e
. Denote por
,
e
seus raios.
i) Supondo que
mostre que a área do triângulo
é igual a
.
[^0]ii) No caso geral mostre que a área do triângulo
é igual a
iii) Faça um exemplo ilustrando os itens i) e ii).
i) Supondo que
[^0]ii) No caso geral mostre que a área do triângulo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre três esferas que estão se tocando mutuamente, ou seja, cada par de esferas está tangente. Essas esferas têm centros nos pontos
e
com raios
e
respectivamente. O que precisamos fazer aqui é calcular a área do triângulo formado por esses três pontos
nas situações:
i) Quando todos os raios são iguais (
).
ii) No caso geral, com raios diferentes.
Além disso, vamos criar um exemplo prático para ilustrar esses casos. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria, especialmente sobre triângulos e a relação entre os lados e a área.
Passo 2
Parte i)
Quando as três esferas têm o mesmo raio (
), significa que a distância entre qualquer dois centros de esferas será igual à soma dos raios dessas esferas. Como todas as esferas têm o mesmo raio, a distância entre os centros será:
Isso forma um triângulo com todos os lados iguais a
, ou seja, um triângulo equilátero.
Para calcular a área de um triângulo equilátero com lado
, usamos a fórmula:
Substituindo
:
Passo 3
Parte ii)
Agora, no caso geral onde os raios são diferentes (
), a distância entre os centros será a soma dos raios das esferas que se tocam. Ou seja:
Com esses valores, temos um triângulo com lados
,
e
. Para encontrar a área desse triângulo, podemos usar a fórmula de Herão, que diz que a área
de um triângulo com lados
é:
Onde
é o semiperímetro:
Substituindo
,
, e
:
Agora, substituindo na fórmula de Herão:
Simplificando os termos dentro da raiz:
Passo 4
Parte iii)
Vamos fazer um exemplo para ilustrar as partes i) e ii).
Exemplo para a parte i):
Suponha que todas as esferas tenham raio
cm.
A área do triângulo será:
Exemplo para a parte ii):
Vamos considerar três esferas com raios diferentes:
cm,
cm e
cm.
A área do triângulo será:
Resposta
i) Quando
, a área do triângulo
é igual a
.
ii) No caso geral, a área do triângulo
é igual a
.
iii)
-
Para esferas com
cm, a área é aproximadamente cm². -
Para esferas com
cm, cm e cm, a área é aproximadamente cm².
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