[Desafio] Considere três esferas mutuamente tangentes centradas nos pontos P1, P2 e P3. Denote por r1, r2 e r3 seus raios.
i) Supondo que r1=r2=r3 mostre que a área do triângulo P1 P2 P3 é igual a raiz3 r^2.
[^0]ii) No caso geral mostre que a área do triângulo P1 P2 P3 é igual a
raizr1 r2 r3(r1+r2+r3))
iii) Faça um exemplo ilustrando os itens i) e ii).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre três esferas que estão se tocando mutuamente, ou seja, cada par de esferas está tangente. Essas esferas têm centros nos pontos e com raios e respectivamente. O que precisamos fazer aqui é calcular a área do triângulo formado por esses três pontos nas situações:
i) Quando todos os raios são iguais ( ).
ii) No caso geral, com raios diferentes.
Além disso, vamos criar um exemplo prático para ilustrar esses casos. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria, especialmente sobre triângulos e a relação entre os lados e a área.

Passo 2

Parte i)
Quando as três esferas têm o mesmo raio ( P1P2 = P2P3 = P3P1 = r + r = 2r ), significa que a distância entre qualquer dois centros de esferas será igual à soma dos raios dessas esferas. Como todas as esferas têm o mesmo raio, a distância entre os centros será:
Área = raiz34a^2
Isso forma um triângulo com todos os lados iguais a Área = raiz34(2r)^2 = raiz34 times 4r^2 = raiz3 times r^2 , ou seja, um triângulo equilátero.
Para calcular a área de um triângulo equilátero com lado , usamos a fórmula:
Á
Substituindo :
Á

Passo 3

Parte ii)
Agora, no caso geral onde os raios são diferentes ( P1P2 = r1 + r2 ), a distância entre os centros será a soma dos raios das esferas que se tocam. Ou seja:
P2P3 = r2 + r3
P3P1 = r3 + r1
A = raizs(s - a)(s - b)(s - c)
Com esses valores, temos um triângulo com lados s = a + b + c2 , s = (r1 + r2) + (r2 + r3) + (r3 + r1)2 = 2(r1 + r2 + r3)2 = r1 + r2 + r3 e A = raiz(r1 + r2 + r3)((r1 + r2 + r3) - (r1 + r2))((r1 + r2 + r3) - (r2 + r3))((r1 + r2 + r3) - (r3 + r1)) . Para encontrar a área desse triângulo, podemos usar a fórmula de Herão, que diz que a área A = raiz(r1 + r2 + r3)(r3)(r1)(r2) de um triângulo com lados A = raizr1 r2 r3 (r1 + r2 + r3) é:
Onde é o semiperímetro:
Substituindo , , e :
Agora, substituindo na fórmula de Herão:
Simplificando os termos dentro da raiz:

Passo 4

Parte iii)
Vamos fazer um exemplo para ilustrar as partes i) e ii).
Exemplo para a parte i):
Suponha que todas as esferas tenham raio Área = raiz3 times r^2 = raiz3 times 3^2 = raiz3 times 9 approx 15,588 cm^2 cm.
A área do triângulo será:
Área = raizr1 r2 r3 (r1 + r2 + r3) = raiz2 times 3 times 4 times (2 + 3 + 4) = raiz24 times 9 = raiz216 approx 14,696 cm^2 Á
Exemplo para a parte ii):
Vamos considerar três esferas com raios diferentes: cm, cm e cm.
A área do triângulo será:
Á

Resposta

i) Quando , a área do triângulo é igual a .
ii) No caso geral, a área do triângulo é igual a .
iii)
  • Para esferas com cm, a área é aproximadamente cm².
  • Para esferas com cm, cm e cm, a área é aproximadamente cm².

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