[Desafio] Considere três esferas mutuamente tangentes centradas nos pontos e . Denote por , e seus raios.
i) Supondo que mostre que a área do triângulo é igual a .
[^0]ii) No caso geral mostre que a área do triângulo é igual a
iii) Faça um exemplo ilustrando os itens i) e ii).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre três esferas que estão se tocando mutuamente, ou seja, cada par de esferas está tangente. Essas esferas têm centros nos pontos e com raios e respectivamente. O que precisamos fazer aqui é calcular a área do triângulo formado por esses três pontos nas situações:
i) Quando todos os raios são iguais ( ).
ii) No caso geral, com raios diferentes.
Além disso, vamos criar um exemplo prático para ilustrar esses casos. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria, especialmente sobre triângulos e a relação entre os lados e a área.

Passo 2

Parte i)
Quando as três esferas têm o mesmo raio ( ), significa que a distância entre qualquer dois centros de esferas será igual à soma dos raios dessas esferas. Como todas as esferas têm o mesmo raio, a distância entre os centros será:
Isso forma um triângulo com todos os lados iguais a , ou seja, um triângulo equilátero.
Para calcular a área de um triângulo equilátero com lado , usamos a fórmula:
Á
Substituindo :
Á

Passo 3

Parte ii)
Agora, no caso geral onde os raios são diferentes ( ), a distância entre os centros será a soma dos raios das esferas que se tocam. Ou seja:
Com esses valores, temos um triângulo com lados , e . Para encontrar a área desse triângulo, podemos usar a fórmula de Herão, que diz que a área de um triângulo com lados é:
Onde é o semiperímetro:
Substituindo , , e :
Agora, substituindo na fórmula de Herão:
Simplificando os termos dentro da raiz:

Passo 4

Parte iii)
Vamos fazer um exemplo para ilustrar as partes i) e ii).
Exemplo para a parte i):
Suponha que todas as esferas tenham raio cm.
A área do triângulo será:
Á
Exemplo para a parte ii):
Vamos considerar três esferas com raios diferentes: cm, cm e cm.
A área do triângulo será:
Á

Resposta

i) Quando , a área do triângulo é igual a .
ii) No caso geral, a área do triângulo é igual a .
iii)
  • Para esferas com cm, a área é aproximadamente cm².
  • Para esferas com cm, cm e cm, a área é aproximadamente cm².

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