Resolva a equação exata (x^2+2 x y) d x+(y^2+x^2) d y=0.

Passo 1

Beleza, temos uma equação diferencial exata:
(x^2 + 2xy) dx + (y^2 + x^2) dy = 0
Isso está ligado ao conteúdo de equações diferenciais, especificamente às equações exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é realmente exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma partial Mpartial y = partial Npartial x é exata se:
Aqui, e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(x^2 + 2xy) = 2x
partial Npartial x = partialpartial x(y^2 + x^2) = 2x
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial partial Fpartial x = M = x^2 + 2xy tal que:
F(x, y) = integral (x^2 + 2xy) dx = x^33 + x^2y + g(y)
Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, derivamos partial Fpartial y = x^2 + g'(y) = y^2 + x^2 em relação a g'(y) = y^2 e igualamos a g(y) = integral y^2 dy = y^33 + C :
Simplificando:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos F(x, y) = x^33 + x^2y + y^33 + C na expressão de x^33 + x^2y + y^33 = C :
Como é a solução geral da equação, podemos escrever:

Resposta

A solução geral da equação é:
x^33 + x^2y + y^33 = C
onde é uma constante.

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