Resolva a equação exata
.
Passo 1
Beleza, temos uma equação diferencial exata:
Isso está ligado ao conteúdo de equações diferenciais, especificamente às equações exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é realmente exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma
é exata se:
Aqui,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão de
:
Como
é a solução geral da equação, podemos escrever:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante.