Resolva a equação exata:
(y^3+2 x) d x+(3 y^2) d y=0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial exata:
(y^3+2 x) dx + (3 y^2) dy = 0
Essa equação pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, em seguida, encontrar uma função potencial cuja derivada total corresponda à equação dada.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que multiplicam e :

Passo 3

Verificamos se a equação é exata, isto é, se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 3y^2
partial Npartial x = 0
Como , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Buscamos um fator integrante que depende apenas de mu(y)(y^3 + 2x) dx + mu(y)(3y^2) dy = 0 ou de . Suponhamos que o fator integrante dependa apenas de . Então, multiplicamos toda a equação por :

Passo 5

Para que a equação seja exata após a multiplicação, deve-se satisfazer:
ddy [mu(y)(y^3 + 2x)] = ddx [mu(y)(3y^2)]
Como mu(y) cdot 0 = 0 depende apenas de mu'(y)(y^3 + 2x) + mu(y)(3y^2) = 0 , a derivada à direita simplifica para:
Portanto, a condição de exatidão se reduz a:
Como essa igualdade deve ser válida para todos os e , deve ser zero. Assim, é uma constante, o que não resolve nosso problema de exatidão. Portanto, tentamos um fator integrante que depende de .

Passo 6

Assumimos que o fator integrante mu(x)(y^3 + 2x) dx + mu(x)(3y^2) dy = 0 depende apenas de ddy [mu(x)(y^3 + 2x)] = ddx [mu(x)(3y^2)] . Multiplicamos a equação original por mu(x) cdot 3y^2 = mu'(x) cdot 3y^2 :
mu'(x) = mu(x)
A condição de exatidão agora é:
mu(x) = Ce^x
Calculando as derivadas:
Para que isso seja verdadeiro para todos os , temos:
A solução dessa equação diferencial é:
onde é uma constante. Podemos escolher sem perda de generalidade, então .

Passo 7

Multiplicamos a equação original por e^x(y^3 + 2x) dx + e^x(3y^2) dy = 0 :
partialpartial y [e^x(y^3 + 2x)] = e^x cdot 3y^2
Agora, verificamos a exatidão:
partialpartial x [e^x(3y^2)] = e^x cdot 3y^2
Como as derivadas são iguais, a equação é exata.

Passo 8

Agora, encontramos a função potencial partial Phipartial x = e^x(y^3 + 2x) tal que:
Phi(x, y) = integral e^x(y^3 + 2x) dx = y^3 e^x + 2 integral x e^x dx
Integrando em relação a integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C :
Phi(x, y) = y^3 e^x + 2(x e^x - e^x) + C
Para resolver a integral Phi(x, y) = y^3 e^x + 2x e^x - 2 e^x + C , usamos a integração por partes:
Portanto:
Simplificando:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é dada por y^3 e^x + 2x e^x - 2 e^x = C . Assim:
e^x(y^3 + 2x - 2) = C
Podemos fatorar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
e^x(y^3 + 2x - 2) = C
onde é uma constante real.

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