Resolva a equação exata:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial exata:
Essa equação pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, em seguida, encontrar uma função potencial cuja derivada total corresponda à equação dada.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções que multiplicam
e
:
Passo 3
Verificamos se a equação é exata, isto é, se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Buscamos um fator integrante que depende apenas de
ou de
. Suponhamos que o fator integrante
dependa apenas de
. Então, multiplicamos toda a equação por
:
Passo 5
Para que a equação seja exata após a multiplicação, deve-se satisfazer:
Como
depende apenas de
, a derivada à direita simplifica para:
Portanto, a condição de exatidão se reduz a:
Como essa igualdade deve ser válida para todos os
e
,
deve ser zero. Assim,
é uma constante, o que não resolve nosso problema de exatidão. Portanto, tentamos um fator integrante que depende de
.
Passo 6
Assumimos que o fator integrante
depende apenas de
. Multiplicamos a equação original por
:
A condição de exatidão agora é:
Calculando as derivadas:
Para que isso seja verdadeiro para todos os
, temos:
A solução dessa equação diferencial é:
onde
é uma constante. Podemos escolher
sem perda de generalidade, então
.
Passo 7
Multiplicamos a equação original por
:
Agora, verificamos a exatidão:
Como as derivadas são iguais, a equação é exata.
Passo 8
Agora, encontramos a função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Para resolver a integral
, usamos a integração por partes:
Portanto:
Simplificando:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é dada por
. Assim:
Podemos fatorar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Resolva a equação exata:
Resolva a seguinte equação homogênea:
Resolva a equação exata
.
[Desafio] Considere três esferas mutuamente tangentes centradas nos pontos
e
. Denote por
,
e
seus raios.
i) Supondo que mostre que a área do triângulo
é igual a
.
[^0]ii) No caso geral mostre que a área do triângulo é igual a
i) Supondo que
[^0]ii) No caso geral mostre que a área do triângulo
iii) Faça um exemplo ilustrando os itens i) e ii).