Resolva a equação exata:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial exata:
Essa equação pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, em seguida, encontrar uma função potencial cuja derivada total corresponda à equação dada.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que multiplicam e :

Passo 3

Verificamos se a equação é exata, isto é, se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Buscamos um fator integrante que depende apenas de ou de . Suponhamos que o fator integrante dependa apenas de . Então, multiplicamos toda a equação por :

Passo 5

Para que a equação seja exata após a multiplicação, deve-se satisfazer:
Como depende apenas de , a derivada à direita simplifica para:
Portanto, a condição de exatidão se reduz a:
Como essa igualdade deve ser válida para todos os e , deve ser zero. Assim, é uma constante, o que não resolve nosso problema de exatidão. Portanto, tentamos um fator integrante que depende de .

Passo 6

Assumimos que o fator integrante depende apenas de . Multiplicamos a equação original por :
A condição de exatidão agora é:
Calculando as derivadas:
Para que isso seja verdadeiro para todos os , temos:
A solução dessa equação diferencial é:
onde é uma constante. Podemos escolher sem perda de generalidade, então .

Passo 7

Multiplicamos a equação original por :
Agora, verificamos a exatidão:
Como as derivadas são iguais, a equação é exata.

Passo 8

Agora, encontramos a função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Para resolver a integral , usamos a integração por partes:
Portanto:
Simplificando:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é dada por . Assim:
Podemos fatorar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Resolva a equação exata:
Resolva a seguinte equação homogênea:
Resolva a equação exata .
[Desafio] Considere três esferas mutuamente tangentes centradas nos pontos e . Denote por , e seus raios.
i) Supondo que mostre que a área do triângulo é igual a .
[^0]ii) No caso geral mostre que a área do triângulo é igual a
iii) Faça um exemplo ilustrando os itens i) e ii).