(Desafio) Se denota o maior inteiro contido em , calcule a integral
onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla de sobre a região , onde . Aqui, é a função teto, que dá o menor inteiro maior ou igual a . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e entender como a função teto se comporta nessa região para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o intervalo de na região . Como vai de 1 a 3 e de 2 a 5, o mínimo de é e o máximo é . Isso significa que varia de 3 a 8.

Passo 3

A função teto vai assumir valores inteiros de 3 a 8 nesse intervalo. Precisamos dividir a região em sub-regiões onde está entre dois inteiros consecutivos, porque em cada sub-região será constante.

Passo 4

Vamos identificar as linhas onde é igual a um inteiro:
Essas linhas vão dividir a região em 5 sub-regiões onde será, respectivamente, 4, 5, 6, 7 e 8.

Passo 5

Agora, vamos calcular a área de cada sub-região:
  1. Entre e :
    • Isso acontece quando .
    • Dentro de , isso forma um triângulo com vértices em (1,2), (1,3) e (2,2).
    • Área: .
  2. Entre e :
    • .
    • Paralelogramo com vértices em (1,3), (1,4), (2,3) e (2,4).
    • Área: .
  3. Entre e :
    • .
    • Paralelogramo com vértices em (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,3), e (3,5).
    • Área: .
  4. Entre e :
    • .
    • Paralelogramo semelhante ao anterior.
    • Área: .
  5. Entre e :
    • .
    • Triângulo com vértices em (2,5), (3,4) e (3,5).
    • Área: .

Passo 6

Agora, multiplicamos cada área pelo valor correspondente de e somamos tudo:
Somando:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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Sejan .
Calcule .
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