(Desafio) Se lceil xrceil denota o maior inteiro contido em x, calcule a integral
integral duplaRlceil x+yrceil d A
onde R=(x, y) in R^2 mid 1 <= x <= 3,2 <= y <= 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla de lceil x + y rceil sobre a região R, onde R = (x, y) in R^2 mid 1 <= x <= 3,, 2 <= y <= 5. Aqui, lceil x + y rceil é a função teto, que dá o menor inteiro maior ou igual a x + y. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e entender como a função teto se comporta nessa região para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o intervalo de x + y na região R. Como x vai de 1 a 3 e y de 2 a 5, o mínimo de x + y é 1 + 2 = 3 e o máximo é 3 + 5 = 8. Isso significa que x + y varia de 3 a 8.

Passo 3

A função teto lceil x + y rceil vai assumir valores inteiros de 3 a 8 nesse intervalo. Precisamos dividir a região R em sub-regiões onde x + y está entre dois inteiros consecutivos, porque em cada sub-região lceil x + y rceil será constante.

Passo 4

Vamos identificar as linhas onde x + y é igual a um inteiro:
  • x + y = 3
  • x + y = 4
  • x + y = 5
  • x + y = 6
  • x + y = 7
  • x + y = 8
Essas linhas vão dividir a região R em 5 sub-regiões onde lceil x + y rceil será, respectivamente, 4, 5, 6, 7 e 8.

Passo 5

Agora, vamos calcular a área de cada sub-região:
  1. Entre x + y = 3 e x + y = 4:
    • Isso acontece quando 3 < x + y <= 4.
    • Dentro de R, isso forma um triângulo com vértices em (1,2), (1,3) e (2,2).
    • Área: 12 times 1 times 1 = 0,5.
  2. Entre x + y = 4 e x + y = 5:
    • 4 < x + y <= 5.
    • Paralelogramo com vértices em (1,3), (1,4), (2,3) e (2,4).
    • Área: 1 times 1 = 1.
  3. Entre x + y = 5 e x + y = 6:
    • 5 < x + y <= 6.
    • Paralelogramo com vértices em (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,3), e (3,5).
    • Área: 1 times 1 = 1.
  4. Entre x + y = 6 e x + y = 7:
    • 6 < x + y <= 7.
    • Paralelogramo semelhante ao anterior.
    • Área: 1 times 1 = 1.
  5. Entre x + y = 7 e x + y = 8:
    • 7 < x + y <= 8.
    • Triângulo com vértices em (2,5), (3,4) e (3,5).
    • Área: 12 times 1 times 1 = 0,5.

Passo 6

Agora, multiplicamos cada área pelo valor correspondente de lceil x + y rceil e somamos tudo:
  • 0,5 times 4 = 2
  • 1 times 5 = 5
  • 1 times 6 = 6
  • 1 times 7 = 7
  • 0,5 times 8 = 4
Somando: 2 + 5 + 6 + 7 + 4 = 24

Resposta

A integral dupla é igual a 24.

Exercícios relacionados