(Desafio) Se
denota o maior inteiro contido em
, calcule a integral
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla de
sobre a região
, onde
. Aqui,
é a função teto, que dá o menor inteiro maior ou igual a
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e entender como a função teto se comporta nessa região para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o intervalo de
na região
. Como
vai de 1 a 3 e
de 2 a 5, o mínimo de
é
e o máximo é
. Isso significa que
varia de 3 a 8.
Passo 3
A função teto
vai assumir valores inteiros de 3 a 8 nesse intervalo. Precisamos dividir a região
em sub-regiões onde
está entre dois inteiros consecutivos, porque em cada sub-região
será constante.
Passo 4
Vamos identificar as linhas onde
é igual a um inteiro:
Essas linhas vão dividir a região
em 5 sub-regiões onde
será, respectivamente, 4, 5, 6, 7 e 8.
Passo 5
Agora, vamos calcular a área de cada sub-região:
-
Entre
e : - Isso acontece quando
. - Dentro de
, isso forma um triângulo com vértices em (1,2), (1,3) e (2,2). - Área:
.
- Isso acontece quando
-
Entre
e : -
. - Paralelogramo com vértices em (1,3), (1,4), (2,3) e (2,4).
- Área:
.
-
-
Entre
e : -
. - Paralelogramo com vértices em (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,3), e (3,5).
- Área:
.
-
-
Entre
e : -
. - Paralelogramo semelhante ao anterior.
- Área:
.
-
-
Entre
e : -
. - Triângulo com vértices em (2,5), (3,4) e (3,5).
- Área:
.
-
Passo 6
Agora, multiplicamos cada área pelo valor correspondente de
e somamos tudo:
Somando:
Resposta
A integral dupla é igual a
.
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(g)
(g)
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Sejan
.
Calcule .
Calcule
Derive a função.
(j)
(j)