Derive a função.
(j)

Passo 1

Beleza, então a gente precisa derivar a função . Vamos usar conceitos de cálculo, como a regra da cadeia e derivadas de funções trigonométricas e exponenciais. Vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia para funções compostas e saber derivar seno ao quadrado e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa expressão complicada. A função é composta de várias camadas:
  • A função externa é , onde .
  • Dentro de , temos , onde .

Passo 3

Vamos começar derivando a função externa em relação a . Sabemos que:
Isso vem da regra da cadeia aplicada à função seno ao quadrado.

Passo 4

Agora, precisamos derivar em relação a . Usamos a regra da cadeia novamente:
Para derivar , aplicamos a regra da cadeia:

Passo 5

Juntando as derivadas que calculamos, a derivada de em relação a fica:

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar toda a função . Multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Substituindo por :

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Sejan .
Calcule .
(Desafio) Se denota o maior inteiro contido em , calcule a integral
onde .
Derive a função.
(q)
Determine a expressão da derivada -ésima em cada caso.
(d)