Sejan an=(1+raiz5)^n-(1-raiz5)^n2^n raiz5.
Calcule lim n infty an+1an.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência e precisa encontrar o limite . Isso está relacionado ao estudo de sequências e limites, usando propriedades de potências e crescimento assintótico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão da sequência:
an = (1+raiz5)^n - (1-raiz5)^n2^n raiz5
Queremos calcular a razão an+1an = (1+raiz5)^n+1 - (1-raiz5)^n+12^n+1 raiz5(1+raiz5)^n - (1-raiz5)^n2^n raiz5 . Vamos substituir e na expressão:

Passo 3

Simplificando a expressão, as constantes an+1an = (1+raiz5)^n+1 - (1-raiz5)^n+12 cdot [(1+raiz5)^n - (1-raiz5)^n] e vão se cancelar:

Passo 4

Agora, vamos dividir o numerador e o denominador por an+1an = (1+raiz5) (1 - (1-raiz51+raiz5)^n+1)2 [1 - (1-raiz51+raiz5)^n] , que é o termo dominante quando tende ao infinito:

Passo 5

Observamos que limn infty an+1an = (1+raiz5) (1 - 0)2 (1 - 0) = 1+raiz52 , então conforme cresce, tende a zero. Portanto, podemos simplificar:

Resposta

O limite é .

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