Determine a primeira e segunda derivadas da função.
(g) y = x^2 ln(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a primeira e a segunda derivada da função . Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia. Para isso, precisamos lembrar como derivar funções que são multiplicação de duas outras funções e como lidar com funções compostas como o logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . A função é o produto de duas funções: e .

Passo 3

Aplicamos a regra do produto, que diz que se , então .

Passo 4

Calculamos as derivadas individuais:
  • A derivada de é .
  • Para derivar , usamos a regra da cadeia. Sabemos que . Aqui, , então . Assim, .

Passo 5

Substituímos as derivadas na regra do produto:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Precisamos derivar .

Passo 7

Derivamos cada termo separadamente:
  • Para , novamente aplicamos a regra do produto. Aqui, e .
  • A derivada de é .
  • Já vimos que .

Passo 8

Aplicando a regra do produto para :

Passo 9

A derivada de é simplesmente .

Passo 10

Juntando tudo, a segunda derivada é:

Resposta

A primeira derivada é e a segunda derivada é .

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