Determine a primeira e segunda derivadas da função.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a primeira e a segunda derivada da função
. Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia. Para isso, precisamos lembrar como derivar funções que são multiplicação de duas outras funções e como lidar com funções compostas como o logaritmo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. A função
é o produto de duas funções:
e
.
Passo 3
Aplicamos a regra do produto, que diz que se
, então
.
Passo 4
Calculamos as derivadas individuais:
- A derivada de
é . - Para derivar
, usamos a regra da cadeia. Sabemos que . Aqui, , então . Assim, .
Passo 5
Substituímos as derivadas na regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Precisamos derivar
.
Passo 7
Derivamos cada termo separadamente:
- Para
, novamente aplicamos a regra do produto. Aqui, e . - A derivada de
é . - Já vimos que
.
Passo 8
Aplicando a regra do produto para
:
Passo 9
A derivada de
é simplesmente
.
Passo 10
Juntando tudo, a segunda derivada
é:
Resposta
A primeira derivada é
e a segunda derivada é
.