Descendo uma montanha em alta velocidade um esquiador perde o controle do seu equipamento e se projeta para fora da borda de um penhasco. No ponto exato da borda, sua velocidade possui módulo igual a 25,0 m / s e faz um ângulo de 37^circ com a horizontal. Desprezando a resistência do ar, determine:
(a) O vetor posição depois de 1,5 s;
(b) A distância em que o esquiador se encontra do penhasco, após 1,5 s;
© O vetor velocidade depois de 1,5 s;
(d) O valor do ângulo que o vetor velocidade faz com a horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um esquiador que perde o controle e voa pro lado de um penhasco. No momento em que ele sai da borda, a velocidade dele é de 25,0 m/s formando um ângulo de 37^circ com a horizontal. A matéria que vamos usar aqui é cinemática de projectile (movimento projetado). Precisamos usar as fórmulas de movimento uniformemente variado, considerando que a única aceleração é a gravidade, que é g = 9,8 m/s^2 pra baixo. Vamos precisar separar a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical para resolver as partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial nas componentes horizontal ( v0x) e vertical ( v0y). Para isso, usamos funções trigonométricas básicas:
v0x = v0 cdot cos(theta)
v0y = v0 cdot sin(theta)
Onde v0 = 25,0 m/s e theta = 37^circ.

Passo 3

Calculando as componentes:
v0x = 25,0 cdot cos(37^circ) approx 25,0 cdot 0,7986 approx 19,96 m/s
v0y = 25,0 cdot sin(37^circ) approx 25,0 cdot 0,6018 approx 15,05 m/s
Então, v0x approx 20,0 m/s e v0y approx 15,0 m/s.

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor posição após t = 1,5 s, usamos as equações de movimento para cada direção:
x(t) = v0x cdot t
y(t) = v0y cdot t - 12 g t^2
Substituindo os valores:
x(1,5) = 20,0 cdot 1,5 = 30,0 m
y(1,5) = 15,0 cdot 1,5 - 12 cdot 9,8 cdot (1,5)^2 approx 22,5 - 11,025 = 11,475 m
Então, o vetor posição é r = (30,0 m) i + (11,5 m) j.

Passo 5

A distância do esquiador ao penhasco após 1,5 s é a magnitude do vetor posição:
d = raizx(t)^2 + y(t)^2 = raiz30,0^2 + 11,5^2 approx raiz900 + 132,25 approx raiz1032,25 approx 32,13 m

Passo 6

Para encontrar o vetor velocidade após 1,5 s, analisamos as componentes:
A componente horizontal da velocidade não muda, pois não há aceleração horizontal:
vx = v0x = 20,0 m/s
A componente vertical da velocidade é afetada pela gravidade:
vy(t) = v0y - g t = 15,0 - 9,8 cdot 1,5 approx 15,0 - 14,7 = 0,3 m/s
Então, o vetor velocidade é v = (20,0 m/s) i + (0,3 m/s) j.

Passo 7

O ângulo que o vetor velocidade faz com a horizontal é dado por:
thetav = arctan(vyvx) = arctan(0,320,0) approx arctan(0,015) approx 0,86^circ

Resposta

(a) O vetor posição depois de 1,5 s é r = (30,0 m) i + (11,5 m) j.
(b) A distância do esquiador ao penhasco após 1,5 s é aproximadamente 32,13 m.
© O vetor velocidade depois de 1,5 s é v = (20,0 m/s) i + (0,3 m/s) j.
(d) O ângulo que o vetor velocidade faz com a horizontal é aproximadamente 0,86^circ.

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