Uma partícula se desloca em um plano x-y, de tal modo que a sua velocidade é dada por: V(t)=(6 t+2 t^2) i+2 t^2 j. Determine:
(a) O vetor aceleração em um instante qualquer;
(b) O módulo do vetor aceleração no tempo t=1 s;
© O vetor aceleração média entre t=0 e t=1 s.
(d) O tempo em que o componente vertical do vetor aceleração é zero.
(e) O vetor posição para o instante t=1 s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se movimenta em um plano V(t) = (6t + 2t^2) , i + 2t^2 , j com uma velocidade dada pela função vetorial:
O conteúdo principal aqui é cinemática vetorial, onde vamos trabalhar com vetores velocidade e aceleração. Para resolver as partes do exercício, vamos precisar usar derivadas para encontrar a aceleração e entender conceitos de vetor, módulo de vetor, aceleração média e integração para encontrar a posição.

Passo 2

Parte (a): Determinar o vetor aceleração em um instante qualquer.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da velocidade:
V(t) = (6t + 2t^2) , i + 2t^2 , j
Derivando cada componente:
A(t) = dV(t)dt = (6 + 4t) , i + 4t , j

Passo 3

Parte (b): Determinar o módulo do vetor aceleração no tempo A(1) = (6 + 4 times 1) , i + 4 times 1 , j = 10 , i + 4 , j .
Primeiro, encontramos a aceleração no instante |A| = raiz(Ax)^2 + (Ay)^2 = raiz10^2 + 4^2 = raiz100 + 16 = raiz116 approx 10,77 , m/s^2 :
Agora, calculamos o módulo desse vetor usando a fórmula:

Passo 4

Parte ©: Determinar o vetor aceleração média entre Amédia = V(1) - V(0)1 - 0 e V(1) = (6 times 1 + 2 times 1^2) , i + 2 times 1^2 , j = 8 , i + 2 , j .
A aceleração média é dada pela variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
V(0) = (6 times 0 + 2 times 0^2) , i + 2 times 0^2 , j = 0 , i + 0 , j é
Primeiro, encontramos Amédia = (8 , i + 2 , j) - (0 , i + 0 , j)1 = 8 , i + 2 , j , m/s^2 e :
Então,
é

Passo 5

Parte (d): Determinar o tempo em que o componente vertical do vetor aceleração é zero.
A componente vertical da aceleração é a componente Ay(t) = 4t de 4t = 0 implies t = 0 , s :
Queremos encontrar tal que :
Então, o componente vertical da aceleração é zero somente no instante inicial .

Passo 6

Parte (e): Determinar o vetor posição para o instante S(t) = integral V(t) , dt + S0 .
Para encontrar a posição, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo. A posição Sx(t) = integral (6t + 2t^2) , dt = 3t^2 + 23 t^3 + Cx é dada por:
Sy(t) = integral 2t^2 , dt = 23 t^3 + Cy
Assumindo que S(t) = (3t^2 + 23 t^3) , i + (23 t^3) , j (posição inicial na origem), vamos integrar cada componente da velocidade:
S(1) = (3 times 1^2 + 23 times 1^3) , i + (23 times 1^3) , j = (3 + 23) , i + 23 , j = 113 , i + 23 , j , m
Como , . Então:
Agora, substituindo :

Resposta

(a)
(b) O módulo da aceleração em é aproximadamente
© é
(d) O componente vertical da aceleração é zero em
(e) O vetor posição em é

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Dados dois vetores A=4,0 i+3,0 j e B=5,0 i-2,0 j, encontre:
(a) O vetor soma A+B, seu módulo, direção e sentido;
(b) O vetor diferença B-A, seu módulo, direção e sentido;
© O produto escalar entre esses dois vetores (A bul<=t B);
(d) O ângulo entre esses dois vetores;
(e) O produto vetorial entre esses dois vetores (A times B).
Um ponto move-se de acordo com as seguintes equações de movimento:
x(t)=3 t^2+3 t^3 ; y(t)=5 t^2-4 t^2 ; z(t)=10 t-6 t^3, onde x, y e z são medidos em metros e +em segundos. Ache:
(a) o vetor velocidade em qualquer instante + ;
(b) o vetor aceleração em qualquer instante + ;
Descendo uma montanha em alta velocidade um esquiador perde o controle do seu equipamento e se projeta para fora da borda de um penhasco. No ponto exato da borda, sua velocidade possui módulo igual a 25,0 m / s e faz um ângulo de 37^circ com a horizontal. Desprezando a resistência do ar, determine:
(a) O vetor posição depois de 1,5 s;
(b) A distância em que o esquiador se encontra do penhasco, após 1,5 s;
© O vetor velocidade depois de 1,5 s;
(d) O valor do ângulo que o vetor velocidade faz com a horizontal.
Um barco move-se rio abaixo com velocidade de 10 m / s e rio acima com velocidade de 6 m / s. Determine:
(a) A velocidade própria do barco;
(b) A velocidade da correntez a do rio.