Dados dois vetores A=4,0 i+3,0 j e B=5,0 i-2,0 j, encontre:
(a) O vetor soma A+B, seu módulo, direção e sentido;
(b) O vetor diferença B-A, seu módulo, direção e sentido;
© O produto escalar entre esses dois vetores (A bul<=t B);
(d) O ângulo entre esses dois vetores;
(e) O produto vetorial entre esses dois vetores (A times B).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A gente tem dois vetores, A e B, e precisamos fazer várias operações com eles: soma, diferença, produto escalar, ângulo entre eles e produto vetorial. Para isso, vamos usar conceitos básicos de vetores, como componentes, magnitude, direção e sentido, além de entender como funcionam os produtos escalar e vetorial. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Encontrar o vetor soma A + B, seu módulo, direção e sentido.
Primeiro, vamos somar os vetores componente a componente. Isso significa que somamos as partes das direções i e j separadamente.
A = 4,0, i + 3,0, j
B = 5,0, i - 2,0, j
Então,
A + B = (4,0 + 5,0), i + (3,0 - 2,0), j = 9,0, i + 1,0, j
Agora, para encontrar o módulo (ou magnitude) desse vetor, usamos a fórmula:
|A + B| = raiz(9,0)^2 + (1,0)^2 = raiz81 + 1 = raiz82 approx 9,06
A direção do vetor pode ser encontrada calculando o ângulo que ele forma com o eixo i. Usamos a tangente inversa:
theta = tan^-1(1,09,0) approx tan^-1(0,111) approx 6,34^circ
O sentido é na direção positiva de i e um pouco acima, já que a componente j é positiva.

Passo 3

Parte (b): Encontrar o vetor diferença B - A, seu módulo, direção e sentido.
Vamos subtrair as componentes de A de B:
B - A = (5,0 - 4,0), i + (-2,0 - 3,0), j = 1,0, i - 5,0, j
Calculando o módulo:
|B - A| = raiz(1,0)^2 + (-5,0)^2 = raiz1 + 25 = raiz26 approx 5,10
A direção é o ângulo com o eixo i:
theta = tan^-1(-5,01,0) approx tan^-1(-5) approx -78,69^circ
Como o ângulo é negativo, isso indica que o vetor está abaixo do eixo i, ou seja, na direção negativa de j.

Passo 4

Parte ©: Calcular o produto escalar entre A e B, ou seja, A cdot B.
O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das suas componentes correspondentes:
A cdot B = (4,0 times 5,0) + (3,0 times -2,0) = 20,0 - 6,0 = 14,0
Esse valor também pode ser interpretado como |A| times |B| times cos(theta), onde theta é o ângulo entre os vetores.

Passo 5

Parte (d): Encontrar o ângulo entre os dois vetores.
Usando a relação do produto escalar:
A cdot B = |A| times |B| times cos(theta)
Já sabemos que A cdot B = 14,0, |A| = raiz4,0^2 + 3,0^2 = 5,0, e |B| = raiz5,0^2 + (-2,0)^2 approx 5,385
Então,
14,0 = 5,0 times 5,385 times cos(theta)
cos(theta) = 14,026,925 approx 0,520
Agora, aplicando a função inversa do cosseno:
theta = cos^-1(0,520) approx 58,00^circ

Passo 6

Parte (e): Calcular o produto vetorial entre A e B, ou seja, A times B.
O produto vetorial de dois vetores em duas dimensões pode ser considerado no espaço tridimensional com a componente k:
A = 4,0, i + 3,0, j + 0, k
B = 5,0, i - 2,0, j + 0, k
Usamos o determinante para calcular:
A times B = i & j & k 4,0 & 3,0 & 0 5,0 & -2,0 & 0 = (3,0 times 0 - 0 times (-2,0)), i - (4,0 times 0 - 0 times 5,0), j + (4,0 times (-2,0) - 3,0 times 5,0), k
Simplificando:
A times B = 0, i - 0, j + (-8,0 - 15,0), k = -23,0, k
O módulo do produto vetorial é 23,0 e a direção é perpendicular ao plano formado por A e B, apontando na direção negativa de k.

Resposta

(a) A + B = 9,0, i + 1,0, j, módulo approx 9,06, direção 6,34^circ acima de i.
(b) B - A = 1,0, i - 5,0, j, módulo approx 5,10, direção 78,69^circ abaixo de i.
© Produto escalar A cdot B = 14,0.
(d) Ângulo entre A e B approx 58,00^circ.
(e) Produto vetorial A times B = -23,0, k.

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(b) o vetor aceleração em qualquer instante + ;
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(b) A distância em que o esquiador se encontra do penhasco, após 1,5 s;
© O vetor velocidade depois de 1,5 s;
(d) O valor do ângulo que o vetor velocidade faz com a horizontal.