Dados dois vetores
e
, encontre:
(a) O vetor soma
, seu módulo, direção e sentido;
(b) O vetor diferença
, seu módulo, direção e sentido;
©
produto escalar entre esses dois vetores
;
(d) O ângulo entre esses dois vetores;
(e) O produto vetorial entre esses dois vetores
.
(a) O vetor soma
(b) O vetor diferença
©
(d) O ângulo entre esses dois vetores;
(e) O produto vetorial entre esses dois vetores
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A gente tem dois vetores,
e
, e precisamos fazer várias operações com eles: soma, diferença, produto escalar, ângulo entre eles e produto vetorial. Para isso, vamos usar conceitos básicos de vetores, como componentes, magnitude, direção e sentido, além de entender como funcionam os produtos escalar e vetorial. Vamos lá!
Passo 2
Parte (a): Encontrar o vetor soma
, seu módulo, direção e sentido.
Primeiro, vamos somar os vetores componente a componente. Isso significa que somamos as partes das direções
e
separadamente.
Então,
Agora, para encontrar o módulo (ou magnitude) desse vetor, usamos a fórmula:
A direção do vetor pode ser encontrada calculando o ângulo que ele forma com o eixo
. Usamos a tangente inversa:
O sentido é na direção positiva de
e um pouco acima, já que a componente
é positiva.
Passo 3
Parte (b): Encontrar o vetor diferença
, seu módulo, direção e sentido.
Vamos subtrair as componentes de
de
:
Calculando o módulo:
A direção é o ângulo com o eixo
:
Como o ângulo é negativo, isso indica que o vetor está abaixo do eixo
, ou seja, na direção negativa de
.
Passo 4
Parte ©: Calcular o produto escalar entre
e
, ou seja,
.
O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das suas componentes correspondentes:
Esse valor também pode ser interpretado como
, onde
é o ângulo entre os vetores.
Passo 5
Parte (d): Encontrar o ângulo entre os dois vetores.
Usando a relação do produto escalar:
Já sabemos que
,
, e
Então,
Agora, aplicando a função inversa do cosseno:
Passo 6
Parte (e): Calcular o produto vetorial entre
e
, ou seja,
.
O produto vetorial de dois vetores em duas dimensões pode ser considerado no espaço tridimensional com a componente
:
Usamos o determinante para calcular:
Simplificando:
O módulo do produto vetorial é 23,0 e a direção é perpendicular ao plano formado por
A e
B , apontando na direção negativa de
k .
Resposta
(a)
A + B = 9,0, i + 1,0, j , módulo
approx 9,06 , direção
6,34^circ acima de
i .
(b)
B - A = 1,0, i - 5,0, j , módulo
approx 5,10 , direção
78,69^circ abaixo de
i .
© Produto escalar
A cdot B = 14,0 .
(d) Ângulo entre
A e
B approx 58,00^circ .
(e) Produto vetorial
A times B = -23,0, k .
Exercícios relacionados
Um ponto move-se de acordo com as seguintes equações de movimento:
x(t)=3 t^2+3 t^3 ; y(t)=5 t^2-4 t^2 ; z(t)=10 t-6 t^3 , onde
x , y e z são medidos em metros e +em segundos. Ache:
(a) o vetor velocidade em qualquer instante + ;
(b) o vetor aceleração em qualquer instante + ;
(a) o vetor velocidade em qualquer instante + ;
(b) o vetor aceleração em qualquer instante + ;
Dois vetores deslocamento,
D=(3 i-3 j+2 k e
E=(-1,0 i+1,0 j+2,0 k) no
S I . Determinar o produto
D times E .
Uma partícula se desloca em um plano
x-y , de tal modo que a sua velocidade é dada por:
V(t)=(6 t+2 t^2) i+2 t^2 j . Determine:
(a)O vetor aceleração em um instante qualquer;
(b)O módulo do vetor aceleração no tempo
t=1 s ;
©O vetor aceleração média entre
t=0 e
t=1 s .
(d)O tempo em que o componente vertical do vetor aceleração é zero.
(e)O vetor posição para o instante
t=1 s .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Descendo uma montanha em alta velocidade um esquiador perde o controle do seu equipamento e se projeta para fora da borda de um penhasco. No ponto exato da borda, sua velocidade possui módulo igual a
25,0 m / s e faz um ângulo de
37^circ com a horizontal. Desprezando a resistência do ar, determine:
(a)O vetor posição depois de
1,5 s ;
(b) A distância em que o esquiador se encontra do penhasco, após 1,5 s;
©O vetor velocidade depois de
1,5 s ;
(d)O valor do ângulo que o vetor velocidade faz com a horizontal.
(a)
(b) A distância em que o esquiador se encontra do penhasco, após 1,5 s;
©
(d)