• Descreva a definição de linearmente independente e dependente (c/ exemplos no espaço de funções)

Passo 1

Vamos resumir a questão: você precisa descrever o que significa ser linearmente independente ou dependente, usando exemplos no espaço de funções. Para isso, vamos abordar os conceitos básicos de independência linear e dependência linear, além de ver como eles se aplicam em conjuntos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é linearmente independente. Em termos simples, um conjunto de funções é linearmente independente se nenhuma função do conjunto pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Isso quer dizer que nenhuma função é “redundante” dentro do conjunto.

Passo 3

Por outro lado, um conjunto é linearmente dependente se pelo menos uma função do conjunto pode ser expressa como uma combinação linear das outras. Isso significa que existe uma certa “dependência” entre as funções, ou seja, uma delas não traz informação nova ao conjunto.

Passo 4

Vamos ver um exemplo no espaço de funções. Considere as funções:
Esse conjunto é linearmente independente porque nenhuma dessas funções pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Não há como representar, por exemplo, como para quaisquer constantes e .

Passo 5

Agora, veja um exemplo de um conjunto linearmente dependente:
Neste caso, pode ser escrito como uma combinação linear de e :
Isso mostra que o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

Um conjunto de funções é linearmente independente se nenhuma função pode ser expressa como combinação linear das outras, garantindo que todas trazem informações únicas ao conjunto. Caso contrário, o conjunto é linearmente dependente, indicando que pelo menos uma função é redundante. Por exemplo, as funções , e são linearmente independentes no espaço de funções, enquanto as funções , e são linearmente dependentes.

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