• Defina autovalor e autovetor associado a uma matriz de uma transformação linear

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa aqui é definir o que são autovalor e autovetor numa matriz que representa uma transformação linear. Vamos usar conceitos de álgebra linear e algumas fórmulas básicas para explicar isso de um jeito bem tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É basicamente uma função que pega vetores de um espaço e os transforma em vetores de outro (ou do mesmo) espaço, respeitando duas propriedades: adição vetorial e multiplicação por escalar.

Passo 3

Agora, pensando em matrizes como representações de transformações lineares, a gente quer entender como certos vetores se comportam quando a gente aplica a transformação. É aí que entram os autovetores e autovalores.

Passo 4

Um autovetor de uma matriz é um vetor especial que, quando a matriz é aplicada a ele, o resultado é apenas o próprio vetor multiplicado por um número, que é o autovalor correspondente. Ou seja, não muda de direção, só é esticado ou encolhido.

Passo 5

Matematicamente, isso é representado pela equação:
Onde:
  • �� a matriz da transformação linear.
  • é o autovetor.
  • é o autovalor.

Passo 6

Para encontrar esses autovalores, a gente resolve o determinante da matriz , onde é a matriz identidade. Isso nos dá uma equação característica que, ao resolver, encontramos os valores de .

Passo 7

Depois de encontrar os autovalores , podemos substituir cada um deles na equação para encontrar os correspondentes autovetores .

Resposta

Autovalor é o número que satisfaz a equação para uma matriz , e autovetor é o vetor não nulo que, quando multiplicado pela matriz , resulta apenas na escalação desse vetor pelo autovalor .

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