- Defina autovalor e autovetor associado a uma matriz de uma transformação linear
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa aqui é definir o que são autovalor e autovetor numa matriz que representa uma transformação linear. Vamos usar conceitos de álgebra linear e algumas fórmulas básicas para explicar isso de um jeito bem tranquilo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É basicamente uma função que pega vetores de um espaço e os transforma em vetores de outro (ou do mesmo) espaço, respeitando duas propriedades: adição vetorial e multiplicação por escalar.
Passo 3
Agora, pensando em matrizes como representações de transformações lineares, a gente quer entender como certos vetores se comportam quando a gente aplica a transformação. É aí que entram os autovetores e autovalores.
Passo 4
Um autovetor de uma matriz
é um vetor especial que, quando a matriz
é aplicada a ele, o resultado é apenas o próprio vetor multiplicado por um número, que é o autovalor correspondente. Ou seja, não muda de direção, só é esticado ou encolhido.
Passo 5
Matematicamente, isso é representado pela equação:
Onde:
-
�� a matriz da transformação linear. -
é o autovetor. -
é o autovalor.
Passo 6
Para encontrar esses autovalores, a gente resolve o determinante da matriz
, onde
é a matriz identidade. Isso nos dá uma equação característica que, ao resolver, encontramos os valores de
.
Passo 7
Depois de encontrar os autovalores
, podemos substituir cada um deles na equação
para encontrar os correspondentes autovetores
.
Resposta
Autovalor é o número
que satisfaz a equação
para uma matriz
, e autovetor é o vetor
não nulo que, quando multiplicado pela matriz
, resulta apenas na escalação desse vetor pelo autovalor
.
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c)
c)
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a).