Descreva como fazer a matriz de uma transformação linear
Passo 1
Beleza, então você precisa entender como construir a matriz de uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear é como uma função que transforma vetores de um espaço para outro, mantendo certas propriedades legais, tipo adicionar vetores e multiplicar por escalar. Pra fazer isso, a gente vai precisar saber quais são as bases dos espaços de partida e chegada e como a transformação age nessas bases.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma base para o espaço de partida. Uma base é um conjunto de vetores que, combinados de forma linear, conseguem chegar a qualquer vetor desse espaço. Se o espaço for , a base padrão geralmente é , onde cada tem 1 na i-ésima posição e 0 nas outras.
Passo 3
Agora, pegamos cada vetor da base do espaço de partida e aplicamos a transformação linear nele. Ou seja, se a transformação for , calculamos , , e assim por diante. Isso nos dá os vetores no espaço de chegada que correspondem a cada um dos vetores da base original.
Passo 4
Depois, expressamos cada vetor resultante em termos da base escolhida para o espaço de chegada. Isso significa encontrar os coeficientes que multiplicam cada vetor da base de chegada para formar . Esses coeficientes vão ser os elementos das colunas da matriz da transformação.
Passo 5
Finalmente, organizamos esses coeficientes em colunas, onde cada coluna corresponde a . A matriz resultante, então, representa toda a transformação linear, já que mostra como cada vetor da base é mapeado.
Resposta
A matriz da transformação linear é formada colocando-se, em sequência, as coordenadas de , , etc., como colunas. Assim, se , a matriz de fica: