Descreva dois vetores a e b tais que
(a) a+b=c e a+b=c
(b) a+b=a-b
© a+b=c e a^2+b^2=c^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que descrever dois vetores e para três situações diferentes. Vamos trabalhar com conceitos de vetores, como soma de vetores e magnitude. Precisaremos lembrar como somar vetores e entender o que significa a igualdade das magnitudes.

Passo 2

Primeiro, na parte (a), temos:
a + b = c e a + b = c
Isso significa que a soma dos vetores e resulta em um vetor , e que as magnitudes (tamanhos) desses vetores também somam igual à magnitude de .

Passo 3

Quando a soma das magnitudes de dois vetores é igual à magnitude da soma deles, isso só acontece se os vetores estiverem na mesma direção. Então, e estão alinhados na mesma direção.

Passo 4

Vamos escolher, por exemplo, e , onde é o vetor unitário na direção x.

Passo 5

A soma fica:
a + b = 3i + 2i = 5i = c
E as magnitudes:
a + b = 3 + 2 = 5 = c
Tudo bate certinho!

Passo 6

Agora, na parte (b), temos:
a + b = a - b
Queremos encontrar e que satisfaçam essa igualdade.

Passo 7

Vamos subtrair b = -b de ambos os lados:
2b = 0
Somando b = 0 dos dois lados:
Então,

Passo 8

Isso significa que o vetor a + 0 = a - 0 Rightarrow a = a é o vetor nulo. E, então, qualquer vetor serve, porque:

Passo 9

Por fim, na parte ©, temos:
a + b = c e a^2 + b^2 = c^2
Isso lembra o teorema de Pitágoras, sugerindo que os vetores formam um triângulo retângulo.

Passo 10

Para que , os vetores e devem ser perpendiculares, ou seja, o ângulo entre eles é de 90 graus.

Passo 11

Vamos escolher e , onde e são vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Passo 12

A soma fica:
a + b = 3i + 4j = c
E as magnitudes:
a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = c^2 Rightarrow c = 5
Tudo certo com o teorema de Pitágoras!

Resposta

(a) e
(b) e pode ser qualquer vetor
© e

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