Dois vetores são dados por: a=3 i+5 j e b=2 i+4 j. Calcule: (a) a cdot b, (b) a times b, © (a+b) cdot b.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no plano: a = 3 i + 5 j e b = 2 i + 4 j. O conteúdo envolvido aqui é produto escalar e produto vetorial de vetores. Para resolver, vamos precisar das fórmulas do produto escalar e produto vetorial, além de operações básicas com vetores, como a soma.

Passo 2

Vamos calcular o produto escalar de a e b, que é a parte (a) do exercício. O produto escalar é uma operação que resulta em um número real e é definido por:
a cdot b = ax bx + ay by
Onde ax e ay são as componentes de a, e bx e by são as componentes de b.

Passo 3

Substituindo os valores das componentes:
a cdot b = (3)(2) + (5)(4) = 6 + 20 = 26

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial de a e b, que corresponde à parte (b) do exercício. Em duas dimensões, o produto vetorial resulta em um número que representa a magnitude do vetor perpendicular ao plano, normalmente na direção k. A fórmula é:
a times b = ax by - ay bx

Passo 5

Substituindo os valores das componentes:
a times b = (3)(4) - (5)(2) = 12 - 10 = 2
Então, o produto vetorial é 2 k.

Passo 6

Por fim, vamos calcular (a + b) cdot b, que é a parte © do exercício. Primeiro, precisamos somar os vetores a e b:
a + b = (3 + 2)i + (5 + 4)j = 5i + 9j
Agora, aplicamos o produto escalar com b:
(a + b) cdot b = (5)(2) + (9)(4) = 10 + 36 = 46

Resposta

(a) a cdot b = 26
(b) a times b = 2 k
© (a+b) cdot b = 46

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