Descreva o domínio e imagem de cada função:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função . Isso está relacionado aos conceitos de função trigonométrica e como elas se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis de
que você pode colocar na função sem causar problemas, como dividir por zero ou tirar raiz de número negativo.
Passo 3
Olha a nossa função . A única parte que pode causar restrições no domínio é a função seno, mas a função seno está definida para todos os números reais. Ou seja, não tem nenhum valor de
que a função seno não consiga calcular.
Passo 4
Então, como não há restrições, o domínio da função é todos os números reais. Em notação matemática, isso é escrito como:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir quando
varia pelo domínio.
Passo 6
Vamos simplificar a função para facilitar. A função é:
Primeiro, multiplicamos os números:
Passo 7
Sabemos que a função seno, , varia entre -1 e 1. Então:
Passo 8
Multiplicando os dois lados da desigualdade por 6:
Passo 9
Agora, substituímos na função
:
Então, invertendo a desigualdade:
Resposta
O domínio da função é todos os números reais (
) e a imagem da função é o intervalo
.