Encontre e classifique os pontos criticos da seguinte função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Isso significa que vamos descobrir onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a
e
, igualá-las a zero para achar os pontos críticos e depois usar a segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de
em relação a
(
) é:
Já a derivada parcial de
em relação a
(
) é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente iguala essas derivadas a zero e resolve o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo
na expressão de
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar esse ponto crítico, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Essas segundas derivadas vão nos ajudar a entender a curvatura da função nesses pontos.
Passo 5
Agora, calculamos o discriminante
, que é dado por:
O valor de
nos dá informações sobre a natureza do ponto crítico:
- Se
e , é um mínimo local. - Se
e , é um máximo local. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 6
No nosso caso,
e
. Isso significa que o ponto crítico
é um mínimo local da função
.
Resposta
O único ponto crítico da função
é
, e este ponto é um mínimo local.
Exercícios relacionados
Descreva o domínio e imagem de cada função:
f)
f)
Mostre que
é diferenciável em
e calcule o plano tangente ao gráfico de
no ponto
Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace
Resolva os seguintes exercícios :
Calcule a taxa máxima de variação de no ponto (1,0). Calcule depois no mesmo ponto a derivada direcional na direşão indicada pelo angulo
Calcule a taxa máxima de variação de