Encontre e classifique os pontos criticos da seguinte função
f(x, y) = x^2 + x * y + y^2 + y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função . Isso significa que vamos descobrir onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a e , igualá-las a zero para achar os pontos críticos e depois usar a segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de em relação a ( ) é:
Já a derivada parcial de em relação a ( ) é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente iguala essas derivadas a zero e resolve o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar em termos de :
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na expressão de :
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar esse ponto crítico, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Essas segundas derivadas vão nos ajudar a entender a curvatura da função nesses pontos.

Passo 5

Agora, calculamos o discriminante , que é dado por:
O valor de nos dá informações sobre a natureza do ponto crítico:
  • Se e , é um mínimo local.
  • Se e , é um máximo local.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 6

No nosso caso, e . Isso significa que o ponto crítico é um mínimo local da função .

Resposta

O único ponto crítico da função é , e este ponto é um mínimo local.

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