Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa verificar se a função
é solução da equação de Laplace, que no nosso caso está escrita como
. Essa equação envolve derivadas parciais segundas de
. Para resolver isso, vamos calcular essas derivadas e ver se a equação é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável é a taxa de variação da função quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos precisar das derivadas segundas de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Derivando
em relação a
, obtemos
. Derivando
em relação a
, obtemos
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Mas observando a função original, não temos nenhuma variável
presente, então a derivada em relação a
será zero:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Derivando
em relação a
, obtemos
. Derivando
em relação a
, obtemos
. Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Sem uma variável
na função original, a derivada em relação a
também será zero:
Passo 7
Finalmente, vamos substituir
e
na equação de Laplace dada:
Resposta
Como a soma das derivadas parciais segundas resultou em zero, a função
é, de fato, uma solução da equação de Laplace.
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f)
f)
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e
,
.