Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace u_xz + u_ny = 0
u = e^(-x) cos(y) - e^(-y) cos(x)

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa verificar se a função é solução da equação de Laplace, que no nosso caso está escrita como . Essa equação envolve derivadas parciais segundas de . Para resolver isso, vamos calcular essas derivadas e ver se a equação é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável é a taxa de variação da função quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos precisar das derivadas segundas de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Derivando em relação a , obtemos . Derivando em relação a , obtemos . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Mas observando a função original, não temos nenhuma variável presente, então a derivada em relação a será zero:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Derivando em relação a , obtemos . Derivando em relação a , obtemos . Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Sem uma variável na função original, a derivada em relação a também será zero:

Passo 7

Finalmente, vamos substituir e na equação de Laplace dada:

Resposta

Como a soma das derivadas parciais segundas resultou em zero, a função é, de fato, uma solução da equação de Laplace.

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