Mostre que f(x, y) = y^2 * e^x é diferenciável em 0,3 e calcule o plano tangente ao gráfico de f no ponto 0,3,9

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa mostrar que ela é diferenciável no ponto . Depois, vamos calcular o plano tangente ao gráfico dessa função nesse ponto específico, que é . Para resolver isso, vamos precisar conhecer sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis e como encontrar o plano tangente usando derivadas parciais.

Passo 2

Para provar que é diferenciável em , precisamos verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Essas derivadas existem para todos os valores de e , então elas existem em .

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade das derivadas parciais em . Como é uma função contínua e e também são contínuas, as derivadas parciais e são contínuas em . Portanto, pela definição, é diferenciável nesse ponto.

Passo 5

Com a diferenciabilidade confirmada, podemos calcular o plano tangente ao gráfico de no ponto . A equação do plano tangente é dada por:
onde é o ponto de tangência, que no nosso caso é .

Passo 6

Vamos calcular e :
Agora, substituindo esses valores na equação do plano tangente:

Passo 7

Simplificando a equação:
Esse é o plano tangente ao gráfico de no ponto .

Resposta

O plano tangente ao gráfico de no ponto é dado por:

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