Mostre que
é diferenciável em
e calcule o plano tangente ao gráfico de
no ponto
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisa mostrar que ela é diferenciável no ponto
. Depois, vamos calcular o plano tangente ao gráfico dessa função nesse ponto específico, que é
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis e como encontrar o plano tangente usando derivadas parciais.
Passo 2
Para provar que
é diferenciável em
, precisamos verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Essas derivadas existem para todos os valores de
e
, então elas existem em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade das derivadas parciais em
. Como
é uma função contínua e
e
também são contínuas, as derivadas parciais
e
são contínuas em
. Portanto, pela definição,
é diferenciável nesse ponto.
Passo 5
Com a diferenciabilidade confirmada, podemos calcular o plano tangente ao gráfico de
no ponto
. A equação do plano tangente é dada por:
onde
é o ponto de tangência, que no nosso caso é
.
Passo 6
Vamos calcular
e
:
Agora, substituindo esses valores na equação do plano tangente:
Passo 7
Simplificando a equação:
Esse é o plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Resposta
O plano tangente ao gráfico de
no ponto
é dado por:
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?
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ii)
Se
seny, onde
e
determine
Descreva o domínio e imagem de cada função:
f)
f)
Encontre e classifique os pontos criticos da seguinte função